1、数学模型 量纲分析法建模/北京理工大学 王宏洲/关于量纲分析法/量纲分析法是二十世纪初，一些物理学家提出的一种在物理领域建立数学模型的办法/所谓量纲分析法，即在经验和实验的基础上，利用物 理量的量纲所提供的信息，根据量纲齐次原则来确定 物理量之间的关系/量纲，即物理量的单位，如速度的量纲就是 m/s/一、量纲齐次原则/物理量的量纲/长度 l 的量纲记 L=l/质量 m的量纲记 M=m/时间 t 的量纲记 T=t/动力学中基本量纲 L/ M/ T/速度 v 的量纲 v=LT-1/导出量纲/加速度 a 的量纲 a=LT-2/力 f 的量纲 f=LMT-2/引力常数 k 的量纲 k/对无量纲量，=1
2、(=L0 M0 T0/fl2m-2=L3M-1T-2/国际单位制SI制的基本量/长度 l 米L 质量 m 公斤M 时间 t 秒 T 电流强度 I 安培A 温度 开尔文K 光强 J 堪德拉cd 物质的量 摩尔N/其他所有物理量的单位都由这7个基本量复合得到/量纲齐次原则/所谓量纲齐次原则，即/等式两端的量纲一致/量纲分析利用量纲齐次原则 寻求物理量之间的关系/具体做法：将所研究问题涉及的所有物理量都列出来，设作等式，根据等式两边量纲一致的原则，确定各物理量之间的关系/单摆运动示例/假设：1、不考虑空气阻力/2、忽略地球自转对单摆运动的影响/3、摆线是刚体，在摆动中无形变/4、摆轴部分没有摩擦/在
3、此条件下，与单摆运动有关的物理量有/t、m、l、g/单摆运动的规律由公式 F(t/ l/ m/ g/ ) = 0 给出/例：单摆运动求摆动周期 t 的表达式/单摆运动示例/对比这里计算出的公式和实际公式/参数通过测量和最小二乘法计算可以得到/设 t/ m/ l/ g 之间有关系式/1/ 2/ 3 为待定系数，为无量纲量/对 x/y/z的两组测量值x1/y1/z1 和x2/y2/z2， p1 = f( x1/y1/z1)/ p2 = f( x2/ y2/z2/为什么假设这种形式/设p= f(x/y/z/如果将x/y/z的量纲 单位缩小a/b/c倍/单摆运动中 t/ m/ l/ g 的一般表达式/
4、量纲分析法的Pi定理/设 f (q1/ q2/ / qm) = 0/ys = (ys1/ ys2/ /ysm)T / s = 1/2/ m-r/F( 1/ 2/ m-r ) = 0 与 f (q1/ q2/ / qm) =0 等价/ F 待定/是与量纲单位无关的物理定律，X1/X2/ / Xn 是基本量纲/ n m/ q1/ q2/ / qm 的量纲可表为/量纲矩阵记作/Pi定理的意义/Pi定理实际上给出了一个量纲分析法建模的方法和理论支持，即这个定理证明了：量纲分析法是可行的，没有任何理论上的疑点/量纲分析法在工程实践方面有一些应用，不过由于适用的函数关系过于简单，无法用于研究复杂的实际问题
5、，如 sint，lnx等，属于比较初级的建模方法，因此在现代科学、工程研究中应用比较少。但是我们在建立一些复杂模型的时候，也要注意量纲问题/Max f = x2 + y z/卖冷饮的收入 销售额 成本 气温/数学模型 微分法建模/北京理工大学 王宏洲 （静态优化模型/关于静态优化模型/飞机外形布局 快餐店的店内布置和服务方式 工厂、商店的订货、储货策略 乒乓球团体赛中的对阵安排/现实世界中普遍存在着优化问题/静态优化问题指最优解是数(不是函数/建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数/求解静态优化模型一般用微分法/静态优化（微分法）建模的主要内容/一、存储模型 二、森林救火模
6、型 三、最优价格 四、消费者均衡模型 五、冰山运输/一、存储模型/问题背景/工厂需要订购并储存原料， 商场需要进货并库存进行零 售，水库雨季蓄水为旱季准 备灌溉和发电用水。这里都 有一个储存多少的问题/仔细考虑会发现，这些问题其实都有随机因素在起作用。比如顾客对商品的需求，天气对蓄水的影响等。但为了简化模型，这里没有考虑随机因素，只给出静态优化模型/在讨论具体问题之前，必须说明：此类寻找最优值的问题并非找到数学最优解即可，而是要认真考虑实际问题的环境/1、不允许缺货模型/炼钢厂订购废钢铁供炼钢使用，需求量一定，而且不允许缺货。制订最优存储策略，即多长时间订一次货，订多少货才能使费用最低/在不缺
7、货条件下，需要考虑两种费用： 订货费（订货需要的一次性费用）； 储货费（占有场地、占用资金的费用/不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系/模型分析与假设/设T天订货一次（订货周期），订货量为Q，则 总费用= 订货费+储存费，设法求T和Q，使得总费用最低。 模型假设1：钢厂单位时间的需求量为 r ； 模型假设2：一次性订货费c1，每天每吨货物储存费为c2 。 模型假设3：每T天订货Q，当存量为0时立即订货/目的：求T、Q的值，使费用最低/需要平衡的地方：频繁订货则c1增加而储存费降低，T小；减少 订货次数则c1减少而储存费增加，T大/构造模型/记q(t)为t时
8、刻货物的存量，具体形式为/q(t)=Q - rt， 0 t T且Q = rT/考虑一个定货周期的总费用/从此模型不难看出，当T= 0 时总费用最低/即不设仓库，随时购买随时使用，将库存费用完全省去就可以 将一次订货的总费用降到最低/这个结论有什么问题吗/模型结果分析/随时购买随时使用，这个结论对于企业而言是没有意义的。这 样做虽然节省了每一个订货周期的费用，但却大大增加了订货 次数，由此增加的费用对企业来说是得不偿失的/由于每次订货费用远远比库存费用要高，所以如果计算单位时 间的总费用，那么拉长订货周期可能费用更低/因此用一个订货周期的总费用来作为目标函数并不适合/模型修正/取目标函数为每天的
9、平均费用，记作 C(T/这样做的合理性在于企业生产是一个长期、连续的过程，只有 降低单位时间（每天）的费用，才能起到降低企业每年总费用 的目的/注：做数学模型必须注意到实际背景和对方的真实意图，不能 简单地给出一个脱离实际的结果/求T、Q使C(T)最小/经济 订货 批量 公式/下面做简单的定性检验/模型检验/与实际经验相吻合，所以说模型是基本合理的/2、允许缺货模型/背景：为商场解决最优订货周期和批量问题。由于商场销售并 非必须随时有货物，所以允许在一定时间内缺货/模型假设1：单位时间的需求量为 r ； 模型假设2：一次性订货费c1，每天每吨货物储存费为c2 ； 模型假设3：允许缺货，每天每吨
10、缺货损失费c3 ； 模型假设4：每T天订货Q吨/构造模型/构造/记q(t)为t时刻货物的存量， 具体形式为/q(t) = Q-r t，Q = r T1/T1时货物售完，在T1/ T 时间内缺货/一次性订货周期的总费用/构造模型/不允许缺货模型/允许缺货模型/模型分析/说明：在允许缺货的情况下，周期可以比不允许缺货 的情形长一些，同时每次订货的数量也可以少一些/3、订货多者优惠情形/批发单位对一次性订货较多的订户在价格上给予一定的优惠。 设单位货物的价格为 e (Q/非常复杂，但这才是现实中可行的方案，毕竟现实问题不像数学一样，追求干净利落的结论/二、森林救火模型/法国在地中海海滨地区，由于每
11、年夏季晴朗，天气干燥，经常发 生难以扑灭的森林大火。因此， 在时常发生大火的地中海海岸边， 法国设置了超过1000人的*** 伍。而且这支队伍的灭火设备特 别现代化，其中包括20多架专为 扑灭森林大火而设计的加拿大出 产的救火机。 根据法国***的资料，一般离开水源不远的住所，每次救火飞机往返，需时仅3至4分钟。如果每次火灾有10架救火机参加战斗，往返10次就有1000吨，100次就有1万吨的水泻在火场上，森林大火很快就会被扑灭。正是因为这样，地中海岸边的森林尽管火灾繁多，但很少能延续到一天以上/加拿大会在森林地带设置 防火了望台，配合巡逻飞 机、遥感卫星等手段监视 火情。借助现代通信技术，
12、森林防火部门可以实时观 测火场情景，半小时至一 小时内灭火队伍就能赶到 火灾现场。 加拿大在每年的防火期内， 用于防火、灭火的飞机可 超过10000架次。遇有火灾，防火中心可根据火情，用直升机运送灭火人员及时赶到火场扑救，或调用水陆两用洒水机投入扑火战斗。 加拿大的森林灭火专用飞机，飞机俯冲至水面并继续前进一段距离，水即可自动由水勺经导管灌入水箱，20秒钟即可装满5吨，然后带水飞向火场/国内森林防火的手段主要依赖地面人员和装备，因此，对日常监控和早期预警比较重视/森林失火后，要确 定派出***员的 数量。 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小。 综合考虑损失费和救援
13、费，确定队员数量/问题/模型分析/记队员人数 x/ 失火时刻 t=0/ 开始救火时刻 t1/ 灭火时刻 t2/ 时刻 t 森林烧毁面积 B(t/损失费f1(x)是x的减函数/ 由烧毁面积B(t2)决定/救援费f2(x)是x的增函数/ 由队员人数和救火时间决定/存在恰当的x，使f1(x)/ f2(x)之和最小/关键是对B(t)作出合理的简化假设/失火时刻t=0/ 开始救火时刻t1/ 灭火时刻t2/ 画出时刻 t 森林烧毁面积B(t)的大致图形/分析B(t)比较困难/转而讨论森林烧毁速度dB/dt/模型假设/3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费/1）0tt1/ dB/d
14、t 与 t成正比，系数 (火势蔓延速度/2）t1tt2/ 降为-x (为队员的平均灭火速度/4）每个队员的单位时间灭火费用c2/ 一次性费用c3/火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径 r与 t 成正比/如果现场刮着大风怎么办/构造模型/目标函数总费用/0/模型构造/目标函数总费用/模型求解/求 x使 C(x)最小/结果解释// 是火势不继续蔓延的最少队员数/其中 c1/c2/c3/ t1/ /为已知参数/结果分析/模型应用/c1/c2/c3已知/ t1可估计/c2 x/c1/ t1/ x/c3 / x/c1 烧毁单位面积损失费/ c2 每个队员单位时间灭火费/ c3 每个队员一次性费
15、用/ t1开始救火时刻/ 火势蔓延速度/ 每个队员平均灭火速度/可设置一系列数值/由模型决定队员数量 x/类似的问题/考虑参与一场军事行动的人数和装备数量 步******化与威力和***战斗力之间的关系 火***大口径化与威力之间的关系 广告投入与企业利润之间的平衡 推销力度与销售量之间关系/VCD的故事/1992年4月，姜万勐发现MPEG压缩技术，与C-CUBE公司孙燕生决定利用MPEG技术开发后来被称为VCD的电子消费产品。1992年12月生产出世界第一台家用VCD。随后双方出资1700万美元成立公司，取名“万燕”。1993年9月，万燕第一代产品问世；1994年，万燕销售出2万台VCD，独占VCD市
16、场/由于前期投 入和固定成本太高，产品平均成本高达每台4000多元。同时，一批新企业很快进入VCD行业。1996年全国VCD销量达600万台，但万燕市场份额已由两年前的100降到2。同年，万燕被另一企业兼并/三、最优价格模型/1995年4月，在万燕举步维艰之际，爱多公司在广东成立，并利用进口散件迅速生产出整机。产品上市后，爱多高价聘请电影明星成龙拍广告，并以8000多万元天价夺取***电视台电子类广告标王/万燕与爱多都在VCD行业花费了一个亿左右投资，但投入方式和效果大不相同。万燕成功地进行技术创新和产品开发，然而由于后续融资能力***，未能通过规模经济优势获得更多市场回报，因而从企业利益上看投资
17、收益不 佳/万燕的前期开发及其后来面临的困难，为爱多等后进入企业提供了便利条件。爱多投资重点是宣传自己的产品品牌，成功运用市场营销手段使它一时获得较好的市场回报/中国VCD销量增长很快，1994年售出2万台，1996年正规厂销量为600万台，1998年生产能力达到1200万台，销量却只有800万台/1996年10月，爱多率先将VCD价格降至2000元左右。1997年6月，爱多在北京宣布实施“阳光行动”，其生产的四种主要机型零售价下调20-25%。VCD另外两巨头“新科”，“万利达”迅速跟进。十几家知名厂家相继加入了降价行列。在不到一年内，每台VCD平均售价由大约2500元下降到1500元左右。
18、国产VCD通过降价，1997年7月市场占有率已由1996年年底不足50%，上升到75%左右/作为厂商，究竟应该如何确定VCD的价格，才能让自身的利益最大化/最优价格模型/1、问题背景：一个经理有权制订产品的销售价格，那么怎样定价才能让企业的利润最大化/定价高/单个产品的利润上升/市场销量下降/企业总利润不见得高/产销平衡工厂生产的产品等于市场上的销量/产销平衡定价，由于产量可以调整，一般是预测市场销量，计算成本，预定利润率，再决定产量/经济学概念/利润=总收入 - 总成本/总成本：指生产一批产品所需的全部经济资源投入的费用总额。由固定成本和可变成本两部分组成/固定成本：固定资产消耗、保险费用等
19、； 可变成本：原料、劳动力成本等/总收入：***一定量产品所得的全部收入/模型分析/模型假设/I(p) = xp/C(p) = xq/需求函数/建模目的：求 p，使得利润最大化/模型构造/解/模型结果分析/根据假设/注意：最优价格 p* 由两部分组成，一是成本的一半；另一部分由需求函数中的参数 a 、b 决定/参数估计/模型中有两个参数：a 和 b ，如何估计/当 p = 0 时，得到 x( p) = a/a 解释为“绝对需求量”，即产品免费供应时社会 的需求量/在实际工作中 如何寻找a、b？ 这里的办法并 不实用/参数估计/注意到需求函数 x(p) 关于 p 是线性函数，我们可以找出几个点，利
20、用最小二乘法得到参数/请大家思考/1） x(p) 取做其他减函数可以吗/2） 在静态模型中 p 不变，但在市场经济下 p 是随 t 变化的，如果取 p(t) ，模型该怎样建立/2、供需不平衡情形的最优价格问题/前面讨论的是供需平衡情形，可是在大多数情况下， 供需并不平衡，即或者供大于求，或者供不应求。在 这种情形下，企业如何定价/比如苹果公司的iPhone，在上市之前就大肆宣传，上市后供不应求，其总裁预计当年会销售上千万部，定价非常高；最近销售放缓，苹果公司开始考虑降***格。那么，究竟该降低多少/模型分析/xd表示需求：在一定条件下，单位时间内消费者欲购且有支付能力的商品量； xs表示供应：在
21、一定条件下，单位时间内企业愿意***且可供***的商品量/当p比较高时，生产者都愿意多生产，所以xs也会相应的增加，g(p)是p的增函数；当p比较高时，能够承受的消费者数量会减少，即xd会降低，所以f(p)应该是p的减函数/模型假设与求解/假设1、市场上供需量相等的价格，即均衡价格是最优价格； 假设2、需求量 xd = a bp = f(p)； 供给量 xs = -c + dp = g(p/得到/a是市场的绝对需求量；b是消费者对价格的敏感度；d是企业对市场价格变动的敏感度；c反映企业所能容忍的最***格(成本/3、价格随行就市情形下的最优价格问题/即设 p = p(t)； 假设1、市场上供需量相等
22、的价格，即均衡价格是最优价格； 假设2、需求量 xd = a bp = f(p)； 供给量 xs = -c + dp = g(p)/ 假设3、 p(t)的涨速与过剩需求xd - xs 成正比/代入xd 和 xs 的表达式/需求不变，但产品的成本上升时，也会造成价格涨速提高；供应量不变，但需求骤增，则价格上涨/模型分析/供需平衡下的最优价格/这说明，虽然p(t)是波动的，但随着时间的推移，价格趋于稳定，且与最优价格靠近/比如一些新产品面世，或者新兴的消费热潮，价格难免宽幅振荡；随着时间推移，消费趋于理性，价格也逐渐稳定下来，不再大起大落。但体现成本的c上升时价格波动会向高位移动/极端情况下的模型
23、/如果消费者的刚性需求巨大，手中也持有一定量货币，而产品供应能力相对不足，比如房地产、粮油、肉类、石油，这时会出现经济中的极端情况/这时xd (常数) xs (常数)，则模型变成/这时 p(t) 可以随时间无限增大/这时出现通货膨胀，同样的货币能买到的东西越来越少/解决通胀的关键：降低消费资金投放；增加商品供应量/即降低xd ，提高xs，从而达到平抑物价飞涨趋势的目的/可以考虑一下国内房地产价格的发展趋势，CPI指数的变化/数学与自然现象/螺旋结构是自然界最普遍的一种形状，DNA以及许多其它在生物细胞中发现的微型结构都采用了这种构造。为何大自然如此偏爱呢/有研究者认为：“对于螺旋结构，过去的回
24、答是由分子之间的引力决定的。但这只能回答螺旋结构的形成原理，不能回答为什么它们是那种形状。从本质上来看，螺旋结构是在一个拥挤的空间，例如一个细胞里，聚成一个非常长的分子的较佳方式，譬如DNA。/在细胞的稠密环境中，长分子链经常采用规则的螺旋状构造。这不仅让信息能够紧密地结合其中，而且能够形成一个表面，允许其它微粒在一定的间隔处与它相结合。例如，DNA的双螺旋结构允许进行DNA转录和修复。为了显示空间对螺旋形成的重要性，研究者模拟了一个存在于十分拥挤的细胞空间中的一个分子。观测发现对于一种短小易变形的材料而言，形结构的形成所需的能量最小，空间也最少。而螺旋当中的形结构，在几何学上最近似于在自然界
25、的螺旋中找到的该种结构/研究者因此认为，分子中的螺旋结构是自然界能够最佳地使用手中材料的一个例子。DNA由于受到细胞内的空间局限而采用双螺旋结构，就像为了节省空间在房屋中采用螺旋梯的设计一样/四、消费者均衡模型/问题背景：消费者用一定数额的钱去购买两种商品， 应做怎样的选择/不难想象，此模型可以用于解决现有资源的分配问题，即如何分配资源，达到最大的满意度/比如： 个人的时间、精力的分配； 国家投资在各个领域的分配； 科研资金在各个专业、方向上的分配； 物资采购时的资金分配等等/问题背景：消费者用一定数额的钱去购买两种商品， 应做怎样的选择/设共有S元钱，两种商品X、Y/显然，如果没有偏好问题，那么直线 p1q1 + p