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经典逻辑视野下的非经典否定da
收录时间:2022-11-25 21:36:18  浏览:0
经典逻辑视野下的非经典否定 余俊伟 中国人民大学哲学院 北京 100872 中图分类号 B81 文献标识码 A 文章编号 1002 8862 2010 07 0096 05 直觉主义逻辑中的否定有直观而清晰的含义 意为 不可能 其强于经典否定 而相干逻辑与弗 协调逻辑中的否定缺乏直观性 一般地 非经典否定只有在能够借助经典否定说明的情况下才能获得清 晰的含义 我们定义一个从弗协调逻辑到经典逻辑的半嵌入映射 据此可以得到弗协调逻辑的一种粗略 直观解释 弗协调逻辑容忍矛盾 不承认矛盾律等说法不准确 其中所谓的矛盾并非通常意义的矛盾 经典逻辑一般即指弗雷格开创的逻辑 其基本特征是外延的 二值的 并且语法上三大基本规律都是其 中的定理 而非经典逻辑往往不具备上述某个或某些方面 因此它们的一个特征就是对某个或某些联结 词的解释不同于经典逻辑 本文讨论的非经典逻辑即指此类逻辑 而且以最为有名的直觉主义逻辑 相 干逻辑及弗协调逻辑为例来阐述 我在 非经典逻辑中的否定 一文中阐述了这三种逻辑中的否定的 直观含义 1 此后作者在多次会议上与几位学者就其中的一些问题深入探讨过 本文即在上述基础上从 经典逻辑的角度尝试尽可能地兼顾技术层面继续深入探讨它们与经典否定之间的关系 对某些质疑做出 回应 对一些观点做进一步论证或修正 一 直觉主义数学的一个口号是存在就是被构造 断定一个对象存在要能当下给出 或者告诉一个方 法 借助这种方法人们可以找到它 而排中律与这个要求是相悖的 非经典逻辑中的否定 一文举了 两个例子来说明 一个是关于 的断定 假设为命题 p 的十进制展开式小数点后会有连续 10个 9 出现 到目前为止没有证实这一情况 另一方面由于 是无理数 其小数点后数字出现无规律 因而 也没有一个方法告诉人们当展开式展开至小数点后面的位数更大时会出现或是不会出现 这样 p与并非 p两者都不成立 另一个例子是关于已经有定论的费马大定理 x n y n z n 对于 n 3无正整数解 假 设为命题 q 英国数学家怀尔斯在 1995年证明了费马大定理 可以设想在 1985的某一个时刻 人们 讨论费马大定理成立与否时只能说 目前还没有证明它 今后可能能够证明它 另一方面也可以说 目 前还没有否证它 今后可能能够否证它 这样 q与并非 q两者在那时都不成立 由于数学领域中的命题 本身没有时间性 因此人们一旦证实了它 以后便一直视其为真 在 1995年它被证明的某个时刻起 q 与并非 q为真 2 这两个例子很自然地启发人们设想以如下方式解释直觉主义逻辑 把命题变元解释为 数学命题 然后问在某时刻命题变元也就是数学命题是否被证明 把所有时刻***在一起得到时间集 如果认为时间都能区分先后 无开端无终止并且是稠密的 那时间集结构有些像有理数结构 一般可以 本文由中国人民大学 2009年科学研究基金项目 逻辑与哲学 从逻辑与概念理论的关系看 项目编号 22382088 资助 96 去掉能区分先后这个*** 也不必要求是稠密的 只需要把时刻间的关系想象成不晚于 因而从数学上 看这种关系满足自返性及传递性即可 当然除结构上的这个要求外 给命题变元赋值时还要求保真性 即刚才提到的数学命题一旦得证之后应一直被视为真 在一时刻上解释并非 q为真要求其后的任意一时 刻上 q都为假 因此并非 q成立就相当于 不仅在当下 q不成立 而且在今后它也不成立 简言之 q 是不可能的 这种结构能让保真性质不仅对命题变元成立 对任意命题都成立 因而这的确是一个很符 合直观的形式解释 直觉主义逻辑不但可以同模态逻辑相比较 而且还可以和经典命题逻辑相比较 从***包含关系来 看 直觉主义逻辑是经典逻辑的一个真子系统 前者仅认可后者承认为规律的一部分 而后者不承认的 前者也不会承认 同样可以借助翻译的方法来说明 比如 设经典命题逻辑的语言为由上述模态语言中 所包含的后四个符号组成 我们有如下结果 是经典逻辑的定理当且仅当 是直觉主义逻辑的定 理 这也就告诉我们 经典逻辑所否定的直觉主义逻辑也要否定 另外还有如下结果 对于每个经典命 题逻辑语言中的公式 A 将其翻译成直觉主义逻辑语言中的公式 A 则有 A是经典命题逻辑的有 效式当且仅当其翻译式 A是直觉主义逻辑有效式 3 直观地看 就是经典逻辑承认的规律 按直觉 主义标准尽管不一定是规律 但同时也无法否认它们 也即接受它们并不会导致矛盾 因此我们说经典逻辑中否定大致对应于自然语言中人们日常使用的否定词 不 并非 而直觉 主义逻辑中的否定则是 永远不 会 或者说是 不可能 从这个角度来看 直觉主义逻辑中的 否定其实比经典否定强 从直觉主义逻辑的关系语义来看 经典逻辑是直觉主义框架类中单点框架这一 特殊框架类下的逻辑 而如果我们在直觉主义框架的其他方面做些*** 像改变状态间的关系类型 增 加其他一些性质 甚至是增加另一个关系来刻画蕴涵 并要求这一关系与原有的刻画否定的关系满足一 些条件 就可以得到其他类型的非经典否定 4 但是这些类型的否定因为是从抽象代数语义出发得到 因此要为其找到一种直观的解说往往是比较困难的 但是上述直观解释的困难并不仅出现在根据抽象的形式语义所定义来得到特殊联结词 对于相干逻 辑的否定 即使它一开始并不是抽象语义学的产物 而是有很清楚的 源于直观解释的意图 但是我们 依然极难为其找到一种直观的解说 二 建立相干逻辑源于人们不满意经典逻辑中的某些定理严重背离人们的直观 特别是一些蕴涵式的定 理 其前后件可以毫无内容上的联系 如 p q q p q q 相干逻辑想要在形式上保证推理 的前提与结论在内容上有关联 当然 从逻辑的角度要做到这一点是非常难的 相干逻辑采用的策略是 将 A与 B有内容上的关联理解为 A与 B至少有一个共同的命题变元 相干逻辑中所谓的相干原理即是 说 如果 A B是相干逻辑的定理 那么 A与 B至少有一个共同的命题变元 这样显然会将一大批经典逻 辑规律排除在外 而在形式语义上它就必须对联结词 主要是对蕴涵与否定做出与经典逻辑不同的解释 然而 不像直觉主义逻辑对命题有不同于经典逻辑的直观解释 相干逻辑并没有提出与经典逻辑有何不同 的特别解释 大概由于以上两个方面的原因 它对否定词也难以有直观的解释 尽管从相干原理的角度来 看它排除了经典逻辑中某些不直观的有效式 因此有些时候相干蕴涵比实质蕴涵显得更符合人们的直观 不过 在某些地方它也显得排除过多 因为普遍被人们接受的选言三段论被相干逻辑排除在外 从 p q及 p并不相干蕴涵 q 总的来说 相干逻辑的解释是非常抽象的 要直观 非形式而又准确地说清它是不太 可能 我们来看一下其形式语义就可知 一个相干框架 F是形如 2 Reww 3 Rwww 4 若 Rwxy 则 Rwy x 5 若 R 2 ewxy 则 Rwxy 6 若 R 2wxyz 则 R2wyxz 其中 R2 是一个 K上的二元关系 定 义为 R 2wxyz成立 当且仅当 存在 a K使得 Rwxa且 Rayz K中的元素也叫做设想或状态 e是逻辑设 想或逻辑状态 它是比可能世界更为一般的一个概念 一个相干模型 M 是一个形如 2 从相互矛盾的前 提不能推出一切公式 3 在保证 1 和 2 的前提下要尽可能地保留经典逻辑中最重要的定理模 式及推演规则 科斯塔等人创立了一系列弗协调逻辑系统 Cn 1 n 其强弱程度依 C1 C2 C 的次序递 减 后来 科斯塔等人给出了弗协调逻辑的一个判定方法 可以验证 A A A A B都不是 它的定理 6 所以 尽管 A A 推出 A和 A 因而不一致 但它仍是足道的 因为它不会推出一 切命题 按上述弗协调逻辑的思想 就有构建为一个足道的理论的可能 一个很自然的问题就是 这种 逻辑中的否定词 含义究竟是什么 它是人们通常说的 不 并非 吗 这是关注弗协调逻辑的人 们一直在追问却始终未能得到满意答案的问题 类似于对相干逻辑中否定的分析 我们认为弗协调逻辑的问题也在于虽然有整体思想 但没有对个 别具体的关键问题做出回答 特别是它没有对命题做出与经典逻辑任何不同的解释 也没有回答 A的 直观含义是什么 因此带来的问题也如相干逻辑一样 尽管有严格的形式语义 但是这种语***释并没 有说明 A的含义是什么 它对应于自然语言中哪个语词 不过根据其语义及它的一些语法特点 我们 在此可以从正反面来对弗协调否定做些诠释 从正面角度来看弗协调否定大致相当于可能不 这里的 不 是经典的否定 我们可以定义一个映射 它将弗协调命题逻辑语言翻译成经典一阶语言的含一个 ***变元的片断 具体地说 按如下方法将弗协调逻辑中的公式 A映射为一阶公式 A 将变元 p映射 为 xPx 将 p映射为 x Px 对于其他类型的公式 A B A B A B A A不是命题变元 分别映射为 A B A B A B A 易证如果 A是 C1的定理 则 A 是经典一阶逻辑的定理 由于等值置换定理在 C1中不成立 可见这个映射不是一个完全意义上的嵌入 而只是一个准嵌入或半 嵌入 而且也易证明不存在从 C1到经典一阶逻辑的嵌入 7 类似地 如果将变元 p定义为定义 xPx 将 p映射为 x Px 其他的保持不变 那么可将直觉主义命题逻辑映射到一阶逻辑中 同样 这种 翻译是单向保持 而不是嵌入 考虑皮尔士律 从反面来看 首先 在弗协调逻辑 C1中可以定义一个新的符号 A 即 A A A 而且可以证明 具有经典否定的一切性质 因此它就是经典否定 A A 及 A A B都是 C1的定理 因此 否定词 在弗协调逻辑中并不是经典否定 可以称之为弗协调否定 它 不是自然语言中的 不 并非 的对应 不是对这些语词的刻画 第二 弗协调逻辑所讲的从矛盾 不能推出一切 其中的矛盾是指形如 A A的所含的矛盾 我们不妨称之弗协调矛盾 它不同于经典 逻辑所说的矛盾 A A 我们不妨称之为经典矛盾 由 A A 等都是 C1的定理可知 弗协调 99经典逻辑视野下的非经典否定 逻辑还是承认经典意义上的矛盾律的 也承认从经典矛盾可以推出一切 我们平常说的不能出现自相矛 盾 要排除矛盾显然都是在 A A这种经典矛盾的意义上说的 因此所谓的在弗协调逻辑中从矛盾不 能推出一切 容忍矛盾 其中的矛盾与我们通常说的矛盾根本就不是同一个概念 准确地说应是 在 弗协调逻辑中从弗协调矛盾不能推出一切 弗协调逻辑容忍弗协调矛盾 很多人都没有意识到这一 点 因而对弗协调逻辑产生了误解 这在一定程度上影响了弗协调逻辑的声誉并阻碍了其发展 弗 协调逻辑所说的矛盾只是不同于经典矛盾的某种对立 例如 根据前文所说的映射它大致相当于传 统逻辑中所说的下反对关系 即可以同真 但不可同假 因此尽管弗协调逻辑否定词 不是对 经典否定的刻画 但毕竟它们之间存在着某种对立 因此我们也仍称它是一种否定 A 与 A是一 对 弗协调 矛盾命题 四 通过以上对三种非经典逻辑的否定的分析我们发现 直觉主义逻辑否定可以通过经典否定解说为 永远不 不可能 而对于弗协调逻辑中的否定 我们只是能够用它来说明经典否定是什么 却不 能在经典逻辑中说明弗协调逻辑否定的含义 而对于相干逻辑 我们目前还未找到它与经典逻辑否定的 确切联系 即它们相互之间没有准确的定义 我们认为 一种异于非经典逻辑的否定如果想要具有直观 的解释 通常情况下只能借助经典否定才可获得 而也只有这样才容易在自然语言中找到其对应语词 因 而才有可能被人们普遍接受 当然这并不排除它们可以有严格的形式语***释 只是这种解释是基于抽象 的数学结构 缺乏人们通常具有的感官经验基础 往往很难为它们在日常生活中找到实际的例子 8 注 释 1 余俊伟 非经典逻辑中的否定 哲学论集 第 41期 Vo l XLI 2008 第 63 72页 2 在第七届国际逻辑与认知大会期间 赫尔辛基大学的 Ahti Veikko P ietarinen教授向我指出这里存在一个问题 即怀 尔斯的证明本身是否是构造性的 我认为可以从两个方面来看这个问题 首先 本文诠释否定的含义 因而将 p 理解为一个数学命题得证即可 而不必再进一步详细区分得证本身是否为构造性的 其次 选取该例只是因其较 为典型且为大家所熟悉和理解 如果更严格地要求构造性的证明 我们完全可以选取其他例子 3 刘壮虎 逻辑演算 中国社会科学出版社 1993 第 185 190页 4 Do en K Negation as aM odalOperator Reports onM athematical Logic 1986 pp 20 15 27 Do en K Nega tion in the Light ofM odalLogic in D Gabby H W ansing eds What is Negation K luwer Academic Publishers 1999 pp 77 86 5 Restal l G N egation in Relevant Logics in D Gabby H W ansing eds What is Ne
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