1、第9讲 模拟退火算法等/1/局部搜索方法 2/ 模拟退火算法/邻域的概念/邻域，简单的说就是一个点附近的其他点的***。 在距离空间，邻域就是以某一点为中心的圆。 组合优化问题的定义： 设D是问题的定义域，若存在一个映射N，使得： 则称N(S)为S的邻域/例：旅行商问题/用一个城市的序列表示一个可能的解。 通过交换两个城市的位置获取S的邻居 例：简单交换方法 设S = (x1/ x2/ xi-1/ xi/ xi+1/ / xj-1/ xj/ xj+1/ / xn) 则通过交换xi和xj两个城市的位置可以得到S的一个邻居： S = (x1/ x2/ xi-1/ xj/ xi+1/ / xj-1/

2、xi/ xj+1/ / xn/x1/x2/xn/xj+1/xj/xj-1/xi-1/xi/xi+1/x1/x2/xn/xj+1/xj/xj-1/xi-1/xi/xi+1/例：逆序交换方法 设xi、xj是选取的两个城市，所谓的逆序交换方式是指，通过逆转xi、xj两个城市之间的城市次序来得到S的邻居。 设：S = (x1/ x2/ xi-1/ xi/ xi+1/ / xj-1/ xj/ xj+1/ / xn) 则：S = (x1/ x2/ xi-1/ xi/ xj-1/ x j-2/ xi+1/ xj/ xj+1/ / xn/x1/x2/xn/xj+1/xj/xj-1/xi-1/xi/xi+1/x

3、1/x2/xn/xj+1/xj/xj-1/xi-1/xi/xi+1/1/ 局部搜索算法/基本思想：在搜索过程中，始终向着离目标最接近的方向搜索。 目标可以是最大值，也可以是最小值。 在后面的介绍中，如果没有特殊说明，均假定是最小值/局部搜索算法（Local Search） 1，随机的选择一个初始的可能解x0D，xb=x0，P=N(xb)； 2，如果不满足结束条件，则 3，Begin 4， 选择P的一个子集P，xn为P中的最优解 5， 如果f(xn) f(xb)，则xb xn，P = N(xb)， 转2；f(x)为指标函数。 6， 否则P = P P，转2。 7，End 8，输出计算结果 9，结

4、束/例：5城市旅行商问题/A/B/C/D/E/7/13/6/10/7/10/10/9/6/5/设初始的可能解：x0 = (a/ b/ c/ d/ e) f(xb) = f(x0) = 38 通过交换两个城市获得领域 P = (a/ c/ b/ d/ e)/ (a/ d/ c/ b/ e)/ (a/ e/ c/ d/ b)/ (a/ b/ d/ c/ e)/ (a/ b/ e/ d/ c)/ (a/ b/ c/ e/ d) 设每次随机从P中选择一个邻居/第一次循环/从P中选择一个元素， 假设xn = (a/ c/ b/ d/ e)/ f(xn) = 42/ f(xn) f(xb)/ P = P

5、xn = (a/ d/ c/ b/ e)/ (a/ e/ c/ d/ b)/ (a/ b/ d/ c/ e)/ (a/ b/ e/ d/ c)/ (a/ b/ c/ e/ d/第二次循环/从P中选择一个元素， 假设xn = (a/ d/ c/ b/ e)/ f(xn) = 45/ f(xn) f(xb)/ P = P xn = (a/ e/ c/ d/ b)/ (a/ b/ d/ c/ e)/ (a/ b/ e/ d/ c)/ (a/ b/ c/ e/ d/第三次循环/从P中选择一个元素， 假设xn = (a/ e/ c/ d/ b)/ f(xn) = 44/ f(xn) f(xb)/ P =

6、 P xn = (a/ b/ d/ c/ e)/ (a/ b/ e/ d/ c)/ (a/ b/ c/ e/ d/第四次循环/从P中选择一个元素， 假设xn = (a/ b/ d/ c/ e)/ f(xn) = 44/ f(xn) f(xb)/ P = P xn = (a/ b/ e/ d/ c)/ (a/ b/ c/ e/ d/第五次循环/从P中选择一个元素， 假设xn = (a/ b/ e/ d/ c)/ f(xn) = 34/ f(xn) f(xb)/ xb = (a/ b/ e/ d/ c)/ P = (a/ e/ b/ d/ c)/ (a/ d/ e/ b/ c)/ (a/ c/ e

7、/ d/ b)/ (a/ b/ d/ e/ c)/ (a/ b/ c/ d/ e)/ (a/ b/ e/ c/ d/第六次循环/从P中选择一个元素， 假设xn = (a/ e/ b/ d/ c)/ f(xn) = 44/ f(xn) f(xb)/ P = P xn = (a/ d/ e/ b/ c)/ (a/ c/ e/ d/ b)/ (a/ b/ d/ e/ c)/ (a/ b/ c/ d/ e)/ (a/ b/ e/ c/ d/第七次循环/从P中选择一个元素， 假设xn = (a/ d/ e/ b/ c)/ f(xn) = 39/ f(xn) f(xb)/ P = P xn = (a/ c

8、/ e/ d/ b)/ (a/ b/ d/ e/ c)/ (a/ b/ c/ d/ e)/ (a/ b/ e/ c/ d/第八次循环/从P中选择一个元素， 假设xn = (a/ c/ e/ d/ b)/ f(xn) = 38/ f(xn) f(xb)/ P = P xn = (a/ b/ d/ e/ c)/ (a/ b/ c/ d/ e)/ (a/ b/ e/ c/ d/第九次循环/从P中选择一个元素， 假设xn = (a/ b/ d/ e/ c)/ f(xn) = 38/ f(xn) f(xb)/ P = P xn = (a/ b/ c/ d/ e)/ (a/ b/ e/ c/ d/第十次循

9、环/从P中选择一个元素， 假设xn = (a/ b/ c/ d/ e)/ f(xn) = 38/ f(xn) f(xb)/ P = P xn = (a/ b/ e/ c/ d/第十一次循环/从P中选择一个元素， 假设xn = (a/ b/ e/ c/ d)/ f(xn) = 41/ f(xn) f(xb)/ P = P xn = P等于空，算法结束， 得到结果为xb = (a/ b/ e/ d/ c)/ f(xb) = 34/存在的问题/局部最优问题/解决方法/每次并不一定选择邻域内最优的点，而是依据一定的概率，从邻域内选择一个点，指标函数优的点，被选中的概率比较大，而指标函数差的点，被选中的

10、概率比较小/选择概率的计算/设求最大值/选择概率的计算/当求最小值时/局部搜索算法1（Local Search 1） 1，随机的选择一个初始的可能解x0D，xb=x0，P=N(xb) 2，如果不满足结束条件，则 3，Begin 4，对于所有的xP计算指标函数f(x)，并按照式（3）或者式（4）计算每一个点x的概率 5，依计算的概率值，从P中随机选择一个点 xn，xb xn，P = N(xb)，转2 6，End 7，输出计算结果 8，结束/存在的问题/步长问题/解决方法/变步长/局部搜索算法2（Local Search 2） 1，随机的选择一个初始的可能解x0D，xb=x0， 确定一个初始步长计

11、算P=N(xb) 2，如果不满足结束条件，则 3，Begin 4， 选择P的一个子集P，xn为P中的最优解 5， 如果f(xn) f(xb)，则xb xn 6/ 按照某种策略改变步长，计算P = N(xb)， 转2 7， 否则P = P P，转2。 8，End 9，输出计算结果 10，结束/存在问题/起始点问题/A/B/全局最大值/局部最大值/解决方法/随机的生成一些初始点，从每个初始点出发进行搜索，找到各自的最优解。再从这些最优解中选择一个最好的结果作为最终的结果/局部搜索算法3（Local Search 3） 1，k = 0 2，随机的选择一个初始的可能解x0D，xb=x0， P=N(xb

12、) 3，如果不满足结束条件，则 4，Begin 5， 选择P的一个子集P，xn为P中的最优解 6， 如果f(xn) f(xb)，则xb xn，P = N(xb)，转3 7， 否则P = P P，转3。 8，End 9，k = k+1 10，如果k达到了指定的次数，则从k个结果中选 择一个最好的结果输出，否则转（2） 11，输出结果 12，结束/多种方法的集成/以上几种解决方法可以结合在一起使用，比如第一、第二种方法的结合，就产生了我们将在后面介绍的模拟退火方法/2/ 模拟退火算法/是局部搜索算法的一种扩展 最早由Metropolis在1953年提出，Kirkpatrick等人在1983年成功地

13、将模拟退火算法用于求解组合优化问题。 基本思想是借用金属的退化过程改进局部搜索算法/固体退火过程/溶解过程：随着温度的不断上升，粒子逐渐脱离开其平衡位置，变得越来越***，直到达到固体的溶解温度，粒子排列从原来的有序状态变为完全的无序状态。 退火过程：随着温度的下降，粒子的热运动逐渐减弱，粒子逐渐停留在不同的状态，其排列也从无序向有序方向发展，直至到温度很低时，粒子重新以一定的结构排列/粒子不同的排列结构，对应着不同的能量水平。如果退火过程是缓慢进行的，也就是说，温度的下降如果非常缓慢的话，使得在每个温度下，粒子的排列都达到一种平衡态，则当温度趋于0（绝对温度）时，系统的能量将趋于最小值/如果以

14、粒子的排列或者相应的能量来表达固体所处的状态，在温度T下，固体所处的状态具有一定的随机性。一方面，物理系统倾向于能量较低的状态，另一方面，热运动又妨碍了系统准确落入低能状态/Metropolis准则/从状态i转换为状态j的准则： 如果E(j)E(i)，则状态转换被接受； 如果E(j)E(i)，则状态转移被接受的概率为： 其中E(i)、E(j)分别表示在状态i、j下的能量，T是温度，K0是波尔兹曼常数/在给定的温度T下，当进行足够多次的状态转换后，系统将达到热平衡。此时系统处于某个状态i的概率由波尔兹曼（Boltzmann）分布给出： （6） 其中 为归一化因子，S是所有可能状态的***/考察一下

15、式（6）随温度T的变化情况： 同一温度下，两个能量不同的状态 高温下的情况 低温下的情况 当温度下降时的情况/在给定的温度T下，设有i、j两个状态，E(i)E(j) ： 即在任何温度T下，系统处于能量低的状态的概率大于处于能量高的状态的概率/由于E(i)E(j)，所以该项小于1/当温度趋于无穷时： 其中|S|表示系统所有可能的状态数。 当温度很高时，系统处于各个状态的概率基本相等，接近于平均值，与所处状态的能量几乎无关/当温度趋于0时 ： 设Sm表示系统最小能量状态的***，Em是系统的最小能量。上式分子、分母同乘以/当温度趋近于0时，系统以等概率趋近于几个能量最小的状态之一，而系统处于其他状态

16、的概率为0。以概率1达到能量最小的状态/当温度上升或下降时/系统落入低能量状态的概率随着温度的下降单调上升，而系统落入高能量状态的概率随着温度的下降单调下降/在高温下，系统基本处于无序的状态，基本以等概率落入各个状态。在给定的温度下，系统落入低能量状态的概率大于系统落入高能量状态的概率，这样在同一温度下，如果系统交换的足够充分，则系统会趋向于落入较低能量的状态。随着温度的缓慢下降，系统落入低能量状态的概率逐步增加，而落入高能量状态的概率逐步减少，使得系统各状态能量的期望值随温度的下降单调下降，而只有那些能量小于期望值的状态，其概率才随温度下降增加，其他状态均随温度下降而下降。因此，随着能量期望

17、值的逐步下降，能量低于期望值的状态逐步减少，当温度趋于0时，只剩下那些具有最小能量的状态，系统处于其他状态的概率趋近于0。因此最终系统将以概率1处于具有最小能量的一个状态/达到最小能量状态的三个条件/1）初始温度必须足够高； （2）在每个温度下，状态的交换必须足够充分； （3）温度T的下降必须足够缓慢/组合优化问题与退火过程的类比/1，随机选择一个解i，k=0，t0=Tmax（初始温度），计算指标函数f(i)。 2，如果满足结束条件，则转（15）。 3，Begin 4，如果在该温度内达到了平衡条件，则转（13）。 5，Begin 6， 从i的邻域N(i)中随机选择一个解j。 7， 计算指标函数

18、f(j)。 8， 如果f(j)j)Random(0/ 1)，则i=j，f(i)=f(j)。 11， 转（4） 12，End 13，tk+1=Drop(tk)，k=k+1。 14，End 15，输出结果。 16，结束/算法中的问题/初始温度的选取 内循环的结束条件，即每个温度状态交换何时结束 外循环的结束条件，即温度下降到什么时候结束 温度的下降方法/在模拟退火过程中，给定温度下状态（解）的转移可以看作是一个马尔可夫链。对于任意两个状态i和j，我们用Pt(i/ j)表示温度t下，从状态i转移到状态j的一步转移概率，则有： 其中：Gt(i/j) 是产生概率，表示从状态i产生状态j的概率。At(i/

19、j) 是接受概率，表示在状态i产生状态j后，接受状态j的概率/定理7/1/满足条件的Gt(i/j)、At(i/j) 举例/说明：条件2的后半部分除外，该条件与具体的问题有关/定理7/2： 在定理1的条件下，如果对于任意两个状态 有： 则有/定理7/3（放宽了定理1的条件） Gt(i/j)、At(i/j)满足定理1中除条件（2）以外的所有其他条件，并且： 1，对于任意两个状态i、j，它们相互为邻居或者相互都不为邻居； 2，对于任意i，Gt(i/j)满足： 3，状态空间S对于邻域是连通的； 则与模拟退火算法相伴的时齐马尔可夫链存在平稳分布，其分布概率为/算法的实现/1）初始温度t0； （2）温度t

20、的衰减函数，即温度的下降 方法； （3）算法的终止准则，用终止温度tf或 者终止条件给出； （4）每个温度t下的马尔可夫链长度Lk/起始温度的选取（1/一个合适的初始温度，应保证平稳分布中每一个状态的概率基本相等，也就是接受概率P0近似等于1。在Metropolis准则下，即要求/如果我们给定一个比较大的接受概率P0，则/其中， 可以有以下估计方式/起始温度的选取（2/假设在t0下随机的生成一个状态序列，分别用m1和m2表示指标函数下降的状态数和指标函数上升的状态数， 表示状态增加的平均值。则m2个状态中，被接受的个数为/所以平均接受率为： 求解有/起始温度的选取（3/模拟固体的升温过程： （

21、1）给定一个希望的初始接受概率P0，给定一个较低的初始温度t0，比如t01； （2）随机的产生一个状态序列，并计算该序列的接收率： 如果接收率大于给定的初始接受概率P0，则转（4）； （3）提高温度，更新t0，转（2）； （4）结束/温度的下降方法（1/等比例下降/温度的下降方法（2/等值下降/温度的下降方法（3/由定理1我们知道，在一定的条件下，与模拟退火算法相伴的时齐马尔可夫链存在平稳分布。如果温度每次下降的幅度比较小的话，则相邻温度下的平稳分布应该变化不大，也就是说，对于任意一个状态i，相邻温度下的平稳分布应满足/一个充分条件是/两边取对数，并整理得： 用 代替 可得温度的衰减函数/每一

22、温度下的停止准则（1/固定长度方法 在每一个温度下，都使用相同的Lk。Lk的选取与具体的问题相关，一般与邻域的大小直接关联，通常选择为问题规模n的一个多项式函数/每一温度下的停止准则（2/基于接受率的停止准则 ： 规定一个接受次数R，在某一温度下，只有被接受的状态数达到R时，在该温度下的迭代才停止，转入下一个温度。 规定一个状态接受率R，R等于该温度下接受的状态数除以总生成的总状态数。如果接受率达到了R，则停止该温度下的迭代，转入下一个温度。 在迭代的过程中，若干相邻的状态称为“一代”，如果相邻两代的解的指标函数差值小于规定的值的话，则停止该温度下的迭代/算法的终止原则 （1/零度法 设定一个正常数e，当时tke时，算法结束/算法的终止原则 （2/循环总控制法 给定一个指定的温度下降次数K，当温度的迭代次数达到K次时，则算法停止/算法的终止原则 （3/无变化控制法 如果在相邻的n个温度中，得到的解的指标函数值无任何变化，则说明算法已经收敛/算法的终止原则 （4/接受概率控制法 给定一个小的概率值p，如果在当前温度下除了局部最优状态外，其他状态的接受概率小于p值，则算法结束/算