1、第五章 风险管理策略：期货合约/王福强 王旭 黄招/5/1 预期收益和风险/净持有成本关系式/等式两边取自然对数得/t-1时刻的关系为/定义期货价格的连续变动率/1）期货价格的连续变动率/RF代表期货合约的收益率，RAF代表价格升值率/等式强调了持有期货合约的唯一收益来自于价格变化/价格升值的连续比率/基础资产的投资回报率为 RS/2) 期货与基础资产随机收益关系/期货收益的方差等于基础资产收益的方差，也就是期货合约的总风险等于基础资产的总风险/5/1/1 预期收益风险关系/期货合约的预期回报率等于基础资产的预期回报率减去无风险利率/期货合约的等于基础资产的，也就是期货合约的市场风险等于基础资

2、产的市场风险/尽管期货合约的风险与基础资产的风险一样，期货合约的预期收益低于基础资产的预期收益，其差额等于无风险利率/买入资产时，我们实际上购买了两个无风险资产和风险溢价，因为我们的资金冻结在该资产上，不管其风险水平如何，我们可以获得无风险资产利率r的回报率。此外，因为投资风险，我们还可以获得持有资产所带来的风险溢价。买入期货时，我们只承担了风险，因此只能获得风险溢价。因为没有资金占用，我们无法获得无风险收益/现在，我们来看CAPM模型。资产的预期收益为/期货合约的预期收益为/理解/资产多头和期货空头的净资产组合收益率就等于无风险利率，买入资产所得的风险溢价恰好被卖出期货所得的风险溢价所抵消/

3、5/1/2 与净持有成本的关系/资产多头意味着我们可以获得预期回报率ES，期货空头意味着我们可以获得预期回报率EF/我们可将两种工具搭配以创造一个新工具。 例如，假设我们买入无风险债券并买入一份期货，该资产组合的预期收益恰好等于基础资产的预期收益/直观地说明很简单，买入或卖出一份期货等于买入或卖出风险溢价；另一方面，买入和卖出资产，意味着买入和卖出包含无风险资产和风险溢价的资产组合。注意，如果资产的风险溢价碰巧等于0，期货的预期价格变化率为0/5/1/3 期货是资产价格的预言者/1)考虑在时刻T买入资产的承诺，预期资产价格的现值是/其中ES是经风险调整的预期资产收益率/2)考虑当前买入价格为F

4、的期货合约，以便在时刻T买入资产。由于时刻T的支付是确定的F，该付款责任的现值为/这两个数值代表相同的意义时刻T 一单位商品的现值/当前的期货价格可表示为/该等式说明，期货价格和预期资产价格的差额非0，这意味着期货价格是预期资产价格的有偏预测指标。如果风险溢价为正，这也是通常情况，期货价格是下偏预测值。仅当资产的风险溢价为0时，期货价格才是预期资产价格的无偏预测值/包含一单位资产和nF单位期货合约的资产组合的标准差等于/5/1/4 利用期货合约对资产套期保值/考虑一个包含一单位资产和nF单位期货合约的资产组合，其预期收益率等于/期货收益和资产收益是完全地正向相关，即/因此，管理资产组合的预期收

5、益和风险，等于确定nF的数值/5/2 价格风险的套期保值/基点风险是由于期货合约价格变动和资产价格变动不是完全相关的/基点风险 = 时间基点风险 + 级数基点风险/1）时间基点风险：期货价格和基础资产价格差额的不确定性。 第一节中，由于我们假设净持有成本关系式在所有时点都成立，所以时间基点风险等于0。为了得到净持有成本关系式，我们假设市场是无摩擦的，而且无风险利率r和资产收益率i是固定不变的。但现实中，套利者需承受交易成本，短期利率和收益率可能存在一定程度的不确定性。这意味着，除非保值区间的长度恰好与期货合约的到期期限相一致，从而确保期货价格和资产价格趋于一致，否则，期货价格变动和资产价格变动

6、不会是完全相关的/2）级数基点风险：我们常碰到的一个情况是，期货合约的基础资产并不是我们需要管理价格风险的资产。这种情况下，级数基点风险指的是两种资产价格差额的不确定性/例如，许多航空公司想对其飞机燃料成本进行保值，但是并不存在飞机燃油期货合约。所幸，飞机燃油和热油是非常接近的替代品，因此可用热油期货进行交叉保值。这种情况下，级数基点风险指的是热油价格和燃油价格差额的不确定性/5/2/1 最小化价格风险/我们将利用航空公司的例子来说明该如何最小化其在时刻T需要的燃油的价格风险。为了简化说明，假设航空公司无法存储燃油，而是按照市场价格购买其需要的燃油。另外假设我们打算在时刻T加油，时刻T的燃油价

7、格表示为 ，当前热油期货价格用F表示，其在时刻T的价格表示为 。假设航空公司买入nF单位的期货合约，其在时刻T的燃油净成本为/1)根据定义方差为正，资产价格和期货价格的相关系数可能为正，所以为 负。这意味着，如果保值者有多头资产，他需要卖出期货，反之亦然。 (2)如果期货合约的资产就是需要保值的特定资产，且期货合约在保值期末到期，则期末价格必定满足 ，这意味着资产价格和期货价格的方差相等 ，即资产价格和期货价格的相关系数为1，。因此，风险最小化的期货保值是对资产一对一的保值。 (3)保值的有效性取决于资产价格和期货价格的相关系数，如果=+1，保值是完全的，最优的保值是卖出一份期货合约；如果=1

8、，保值也是完全的，最优的保值是买入一份期货合约；如果1+1，保值不是完全有效的，且随着相关系数越接近于0，保值的有效性越低；=0时，资产价格和期货价格相互***，建立期货头寸是没有意义的/假设价格变化满足***同分布（i/i/d/）的/5/2/2 估计方差/协方差/为了推导风险最小化的保值，我们只考察一期的保值，从时刻0到时刻T。保值区间的长度是随意的，为了解释的方便，假设为T天。现在，我们考察资产价格的方差 。保值期间的资产价格序列为 ，要用价格序列来表示/期末期货价格的方差为/从时刻0到时刻T风险最小化的保值式可用每日价格变化重新表示为/期末资产价格和期货价格的协方差为/期末资产价格的方差/5

9、/2/3 设定风险最小化的保值/现在说明如何运用风险最小化保值的方法。假设航空公司在30天后需求15万加仑的飞机燃油，想最小化燃油的购买成本。另外假设航空公司没办法存储飞机燃油。确定风险最小化的保值需要四步/第一步：确定合适的期货合约类型 (1)期货价格和燃油价格的相关系数越高，保值越有效。 (2)纽约商品交易所上市的热油期货合约有18种不同的到期期限，如何从众多期限的合约中选择？合约流动性和期货头寸的滚动成本是取舍关键，一般说来，到期期限最近的合约流动性也最强，从而交易成本最低/第二步：收集历史价格 在保值体系内，每日价格变化的标准差和相关系数是未来预期的标准差和相关系数，而我们没法观测到这

10、些参数，所以通常只能根据历史时间序列数据进行估计/第三步：估计标准差和相关系数/资产价格变化标准差的估计量为/资产价格变化与期货价格变化的相关系数的估计量为/估计值为/第四步：计算风险最小化的套期保值/计算期货合约的最优数量/负号意味着我们要进行风险最小化的保值，必须卖出期货，最优卖出数量是对于每加仑飞机燃油卖出1/0997加仑的热油/5/2/4 OLS回归/估计风险最小化保值的一个方便直接的办法，就是普通最小二乘（OLS）回归。只要有必需的时间序列价格数据（t=1/T），就可回归/风险最小化的期货合约份数可表示为斜率估计系数的函数/未保值资产的价格风险为/OLS回归免去了直接估计单个标准差和

11、相关系数的麻烦，而且回归结果中R2的能够反映保值的有效性/卖出1单位的期货对应着R2中的/R2说明了未保值资产价格变化的总风险中，可保值风险的比例/三类风险的套期保值/5/3-5/5 Apr/9/目 录/概 述/内 容 风险最小化保值理论的应用和实现：通过实证的回归确定合理的套期保值的数量 数理基础/收益风险的套期保值/管理的内容： 收益风险的套期保值，通过替换解释变量实现。 数据来源与回归结果： 过去30年收获时小麦的平均价格，每亩平均产量。从而算出每亩收入 以“每亩收益变化”列为被解释变量，以“期货价格变化”列为解释变量，进行回归 （见表1） 结果的对比和待解决的问题： 较小的管理费用，不

12、一样的R平方/数据和回归/表1/利润风险的套期保值/管理的内容： 成本和收益的同时管理，通过对成本和收益两方面的分别的风险 管理来实现，同时对冲不必要的头寸。 数据来源与回归结果： 金表的历史销售价格、数量以及过去67个月黄金和黄金期货的价格（见表2） 对冲问题 当标的相同时，可以直接对合约数量进行对冲（当标的不同时，我想应当根据相关性进行对冲以减少管理费用/数据和回归/表2/资产组合的风险的套期保值/管理内容： 与前面不同，这里管理的是资产的价值增长率，可以通过自然对数以简化计算/但保值的原理不变 数据来源和回归结果 AAA级公司债券的资产组合，该组合从2004年1月1日到2005年2月16

13、日每日价格数据，芝加哥交易所债券期货合约连续复利的收益率，当前（2/16/05）财政部债券期货价格是每一美元债券面值1/1525，债券期货合约面值10万美元（见表3） 注意的问题 这里我们回归的变量是自然对数，应当将其还原成原有的资产标的/数据和回归/个体风险管理与系统风险管理/一个悖论： 风险管理究竟是分散了风险还是扩大了风险？ 个人的理解 在对冲了单个投资者风险的同时扩大了整个的系统风险（可以通过协方差展开进行简单的推理） 由于价格的数量总是奇数，因此总有一个投资者无法对冲，只能承受风险 解决方法 控制衍生次数，寻求合理的市场规模 通过新设计封闭价格循环/收益风险/小 结/资产组合风险/利

14、润风险/5/6 多种风险源的保值/采用回归方法设定风险最小化保值，不仅具有方便的优点，而且还可用于处理价值受多种风险因素影响的资产组合的保值。 假设所需管理的基金主要投资于石油冶炼行业的股票，由于资产组合集中于石油股票，没有充分多元化，所以其价值不仅易受未预期股票市场波动的影响，也会受未预期石油价格变化的影响。 假设原油价格未来会飞涨，这将面临两难的抉择，原油价格上升很可能会引发股票市场下跌，但却会对我们资产组合中的石油股票价格有正面影响。因此，卖出股票并买入无风险债券并不是一个合适的策略，因为该策略把股票市场和原油价格风险暴露都取消了，我们的目标是仅抵消资产组合的股票市场风险，而保留原油价格

15、风险/处理该风险问题的一个直接方法就是利用多元回归模型 (5-37) 其中，用于保值的期货合约的选择原则是其收益率会影响我们资产组合的价值。为了说明的方便，我们仅考虑两种风险因素：一是股票市场风险，用S&P500期货合约表示；二是石油价格风险，用石油期货合约来表示。只要估计出回归结果，我们就可利用斜率系数的估计值对任何类型的风险暴露进行套期保值/例5-4/ 两风险因素的保值/ 假设你管理的基金主要投资于炼油业股票，因此你面临着石油价格和股票市场变动的双重风险。当前股票市场不平稳，你发现自己陷入两难境地，一方面你认为未来几周由于原油价格的上涨市场很可能下跌，但另一方面你所持的石油股票组合却会因原

16、油价格上涨而相对于股票市场升值。因此，你想对市场风险而非石油价格风险暴露进行保值。利用hedge/xls表格中的收益率数据计算股票市场风险最小化的保值。芝加哥商品交易所交易的S&P500期货合约可代表股票风险因素，而纽约商品交易所交易的原油期货合约可代表石油风险因素。S&P500期货合约的面值为指数的250倍，而原油期货合约的面值为1000桶 。表格中的原始数据列示如下/多风险保值分析中，很重要的第一步就是掌握收益率序列间的相关性。 在Excel中，找到“工具”按钮，选择“数据”分析，然后再选“相关系数”，就可生成一下相关系数矩阵/资产组合收益率与S&P500指数和原油收益率高度正相关，相关系

17、数分别为0/4641和0/2738，同时，S&P500的收益率与原油收益率则是负向相关，系数为-0/2060。换句话说，股票市场总体上会随原油价格的上升而下降，但所持有的石油股却会随原油价格同向上升 。 对所持资产组合的短期市场风险保值，为了估计合适的保值水平，需要将资产组合收益率对所有已知的风险因素收益率进行回归，本例中的风险因素就是S&P500收益率和石油收益率/估计结果如下/实际上回归结果证明，所持资产组合的价值会随股票市场和原油价格的上升而上升。S&P500估计系数为0/8252，这意味着S&P500期货合约价格每上升1%，资产组合价值上升0/8252%，前提是原油价格的影响保持不变。

18、这就是为何要把所有可能的风险因素都包括进来的原因，否则无法将不同因素的影响效果区别开来，除非这些风险因素相互***。OLS回归中，该问题被称为遗漏相关解释变量。 要卖出的S&P500期货合约的份数就由估计的斜率系数、资产组合的市场价值和期货合约面值决定，如下所示/保证完整性，我们先用资产组合收益率对股指期货收益率进行一元回归，回归结果如下/利用回归结果中的斜率系数估计值设定股票市场风险最小化的保值。 斜率系数的估计值为0/7046，因此需要卖出的S&P500期货合约的份数为 该风险最小化的期货合约卖出份数是错误的，因为我们没有考虑原油收益率与S&P500收益率负向相关的关系，所以由此计算的卖出份

19、数是下偏的。回归式中缺少了原油收益率，S&P500收益率的估计系数实际包含了股票市场和原油两个因素的影响，因为原油和股票市场是负向相关，这意味着一元回归式中S&P500收益率的系数是下偏的。如果石油和股票市场是正向相关，一元回归式中的斜率系数就是上偏的/保值效果的分析 在多种风险源下，测量保值的效果稍微复杂一些，第一个回归式中，可决系数为0/3579，表明石油股票组合收益率变动的35/79%可由S&P500期货收益率和原油期货收益率得到解释。但是当用S&P500期货保值后，该风险还剩多少呢？ 计算保值前资产组合收益率的标准差 以及保值后组合收益率的标准差 它们分别是0/00993和0/0088

20、3因此，保值后，未能保值的资产组合收益率方差的比例为/5/7 回归问题/回归估计，需要注意的一些难以处理的问题。 其中一个重要的问题就是在生成价格变化率或收益率时，如何合理选择价格观测值的频度。从统计角度看，频度越高的数据越好，因为给定历史区间，频度越高，观测值个数越多，从而估计时获取的信息越多。但从实务角度看，尽管频度高意味着信息多，但也会带来更大的测量误差，则需要进行权衡/回归分析在决定保值比例的运用中所隐含的假设 1资产组合收益率（价格变化）和期货收益率（价格变化）随时间是平稳的，这样我们才能根据以往数据来得到未来预期的方差和协方差，从而计算保值比例。 2利用历史价格数据时，隐含的假设是

21、所测量的价格数据是真实价格，时刻t资产组合价格和期货价格的观测值是同一时刻的数值。 这些假设一般是不成立的，并且会导致较大的误差/测量误差的来源 1买入价/卖出价的波动：该问题源于历史数据库所记录的每日价格通常是最后一笔交易价格，即每天最后一笔交易的成交价格。一般说来，最后一个交易价格并非证券的真实价格，一个原因就是交易很可能是在单边市场上进行的，如果交易是卖方促成的，那成交价很可能是当前的买入价，而如果交易是买方促成的，那成交价就可能是卖出价。见图5-4。反映每日末真实价格的一个更好指标就是每交易日末当时买入价和卖出价的中间值，但每天报价的历史数据一般是没有的/表5-4：某日最后交易价格与真

22、实价格之间的关系 Last trade takes place at bid or ask with approximately equal probability最后一笔交易按买入价或卖出价成交的概率大致相等；Ask price卖出价；Bid/ask midpoint买入/卖出价的中间值；Bid price买入价；Range of true price真实价格的变动/资产组合收益率是根据前后两天的收盘价计算的，因此所得的资产收益率有两个测量误差，分别来自两天的价格。期货收益率也是如此。因此，利用T天收益率进行回归的测量误差数量为4T，回归中的变量误差会使斜率系数的估计值下偏。 如果资产和期货

23、市场的买入价与卖出价的差额为0，该问题就不存在了。相反，在流动性较差的市场上，买入价和卖出价的差额比较大，该问题的影响就比较大，我们可以通过扩大收益率的计算区间来减少误差数量，从而控制买入价/卖出价波动所引起的偏差。只要是基于真实价格进行的回归，不管数据频率是日数据、周数据或者月度数据，都应该得到相同的斜率系数。但是，基于周数据进行的回归误差要相应地小于基于日数据的回归误差（每周五个交易日，误差数目少5倍），从而斜率系数下偏的程度要低/2价格观测值的不同步/ 测量误差的另一个来源则是计算资产和期货收益率所用的价格观测值并不是同一时刻的。例如，我们用股票组合的日收益率对S&P500期货合约的收益

24、率进行回归，如果我们使用每个市场的收盘价，因为股票市场下午4点收盘，而S&P500指数期货市场下午4点15收盘，从而我们还要面临另一个变量误差问题时间不匹配。该问题会使斜率系数的估计值下偏。期货收益率并不能完全反映在股票资产组合收益率中，其中一部分要到第二天才能反映到股票组合收益率中/3 交易频率低：当构成资产组合的要素资产价格交易频度不同时，另一个问题就产生了。以 S&P500指数的收盘价为例，收盘时S&P500指数的真实水平是根据所包含的500种指数股票的真实价格加权平均得到的，所有股票价格都是收盘时的成交价。但实际上，并非所有股票都在收盘时交易。在某一特定交易日，通用电气和IBM等股票的交易会从开盘一直进行到收盘，然而其他股票的交易频度则小的多。实际上，有些股票在一天的最后几个小时可能根本没有交易发生，对于这些股票，最后交易价格并不是每日末股票真实价格的好的计量指标。事实上，因为指数是根据成分股票最后交易价格计算的，观测到的指数总是滞后于其真实水平，这意味着观测到的指数收益率存在正的序列相关性，从而违背了收益率服从***同分布的回归假设/稳健性检验的例子 书中给出了了Merrill Lynch高收益B级债券指数的每日收益率，CBT国债期货收益率，以及CME的S&P500期货收益率。评级在BBB级以下的债券有时也称为垃圾债券，垃圾债券价格通常对长期利率和股票市场的波动很敏感。