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130导数-知识点总结
收录时间:2023-01-26 03:39:52  浏览:1

1、基础-综合-能力-创新导数知识点总结一/导数的概念/变化率问题/对于函数我们把叫做函数yf(x)从x1到x2的平均变化率。习惯上用xx2x1/即x看作是相对于x1的一个“增量”/可用x1 +x来代替x2/类似的yf(x2)f(x1)。即平均变化率也可表示为注意/1/瞬时变化率与瞬时速度的概念/导数定义/在点处的导数设是函数定义域的一点/若自变量在处有增量/则函数值也引起相应增量/则比值称为函数在点到之间的平均变化率/若极限存在/则称函数在点处可导/并把这个极限叫做在处的导数/记作或/即=/注/是增量/我们也称为“改变量”/因为可正/可负/但不为零(趋向0)/已知函数定义域为/的定义域为/则与关

2、系为函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件/可以证明/如果在点处可导/那么点处连续/事实上/令/则相当于/于是如果点处连续/那么在点处可导/是不成立的/例如/在点处连续/但在点处不可导/因为/当0时//当0时/故不存在/另注/可导的奇函数函数其导函数为偶函数/可导的偶函数函数其导函数为奇函数/导函数的定义/导数的几何意义/理解曲线的割线与切线的含义/函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率/也就是说/曲线在点处的切线的斜率是/切线方程为二/常用基本初等函数的导数公式/(这里是常数)即常数的导数值为0特别地/ 补充/ 三/求导数的运算法则/法则1//(口诀/和与差的导数等于导数的

3、和与差)/法则2/(口诀/前导后不导相乘/后导前不导相乘/中间是正号)法则3/(口诀/分母平方要记牢/上导下不导相乘/下导上不导相乘/中间是负号)注/1)必须是可导函数/2)若两个函数可导/则它们和、差、积、商必可导/若两个函数均不可导/则它们的和、差、积、商不一定不可导/例如/设/则在处均不可导/但它们和在处均可导/3)运算法则也可以简记为/四/复合函数的导数/复合函数的定义/对于两个函数和/若通过变量/可以表示成的函数/那么称这个函数为函数和的复合函数/记做复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)/ug(x)的导数间的关系为/即y对x的导数等于对的导数与对的导数的乘积五/导数在研究函数

4、中的应用函数的单调性在某个区间(a/b)内/如果/那么函数yf(x)在这个区间内单调递增/如果/那么函数yf(x)在这个区间内单调递减/注意/具体求单调区间的时候/还必须考虑时的值(临界点)取不取。函数的极值点与极值/若可导/则“有实根”是“有极值”的必要不充分条件。(1)判断点是极值点/是极值的方法/一般地/当函数在点处连续时/如果在x0附近的左侧/右侧/那么f(x0)是极大值/如果在x0附近的左侧/右侧/那么f(x0)是极小值/(2)求可导函数极值的步骤/先求 再求方程的根/检查在方程的根左右两边取值的符号/如果左正右负/那么f(x)在这个根处取得极大值/如果左负右正/那么f(x)在这个根

5、处取得极小值/注意/极值反映了函数在某一点附近的大小情况/刻画了函数的局部性质。极值的判别方法/极值是在附近所有的点/都有/则是函数的极大值。极小值定义同理。当函数在点处连续时/如果在附近的左侧0/右侧0/那么是极大值/如果在附近的左侧0/右侧0/那么是极小值/也就是说为极值点的充分条件是点两侧导数异号/而不是=0/此外/函数不可导的点也可能是函数的极值点/当然/极值是一个局部概念/极值点的大小关系是不确定的/即可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同)/注意/若点是可导函数的极值点/则=0/但反过来不一定成立/对于可导函数/其上一点为极值点的必要条件是若函数在该点可导/则导数值为零/例

6、如/函数/使=0/但不是极值点/例如/函数/在点处不可导/但点是函数的极小值点/函数的最值/若函数在闭区间上的图象是一条连续不间断的曲线,则该函数在闭区间上必有最大值和最小值。(1)在闭区间a/b上连续的函数f(x)在a/b上必有最大值与最小值/(2)若函数f(x)在a/b上单调递增/则为函数的最小值/为函数的最大值/若函数f(x)在a/b上单调递减/则为函数的最大值/为函数的最小值/(3)设函数f(x)在a/b上连续/在(a/b)内可导/求f(x)在a/b上的最大值和最小值的步骤如下/求f(x)在(a/b)内的极值点/令将f(x)的各极值与比较/其中最大的一个是最大值/最小的一个是最小值/函

7、数的极值与最值的区别/极值是在局部对函数值进行比较/它反映函数在某一点附近的局部性质/最值是在整体区间上对函数值进行比较/它反映函数在整个定义域上的性质。注意/函数的极值点一定有意义/导数的常见题型及解题思路一/用定义求导数的步骤/求函数的增量//求平均变化率//取极限得导数/二/复合函数的导数求法/换元/令/则 分别求导再相乘回代三/导数的物理意义1/求瞬时速度/物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在 时的导数,即有。2/Vs/(t)表示即时速度。a=v/(t)表示加速度。四/导数的几何意义/函数在处导数的几何意义/曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是/。题型/用导数求曲线的切线注

8、意两种情况:曲线在点处切线/。相应的切线方程是/曲线过点处切线/先设切点/切点为/则斜率k=/切点 在曲线上/切点在切线上/切点坐标代入方程得关于a/b的方程组/解方程组来求切点/最后求斜率k=确定切线方程。五/函数的单调性:设函数在某个区间内可导,该区间内为增函数/该区间内为减函数/注意/当在某个区间内个别点处为零/在其余点处为正(或负)时/在这个区间上仍是递增(或递减)的。在该区间内单调递增在该区间内恒成立/在该区间内单调递减在该区间内恒成立/题型一/利用导数证明(或判断)函数在某一区间上单调性/步骤/求导数判断导函数在区间上的符号下结论该区间内为增函数; 该区间内为减函数;题型二/利用导数求单调区间求函数单调区间的步骤为/分析的定义域/求导数 解不等式/解集在定义域内的部分为增区间解不等式/解集在定义域内的部分为减区间题型三/利用单调性求参数的取值(转化为恒成立问题)思路一/在该区间内单调递增在该区间内恒成立/在该区间内单调递减在该区间内恒成立/思路二/先求出函数在定义域上的单调增或减区间,则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。题型四、导数图象与原函数图象关系导函数 原函数 的符号 单调性与x轴的交点且交点两侧异号 极值的增减性 的每一点的切线斜率的变化趋势(的图象的增减幅度)增 的每一点的切线斜

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