1、第一章 观测误差与传播律/第一节 观测误差 第二节 偶然误差的统计性质 第三节 衡量精度的指标 第四节 协方差阵、协因数阵和权阵 第五节 广义传播律 第六节 广义传播律在测量中的应用 第七节 系统误差的传播/第一节 观测误差/当对某量进行重复观测时，就会发现，这些观测值之间会存在一些差异。例如，对现一段距离重复测量若干次，量得的长度通常是互有新式异。另一种情况是，如果已经知道某几个量之间应该满足某一理论关系，但当对这几个量进行观测后，也会发现实际观测结果往往不能满足应有的理论关系。例如，从几何上知道一平面三角形内角之和应等于180，但如果对这三个内角进行观测，则三内角观测值之和常常不等于180

2、，而有差异。 在同一量的各观测值之间，或在各观测值与其理论上的应有值之间存在差异的现角，在测量工作中是普通存在的。为什么会产生这种差异呢？不难理解，这是由于观测值中包含有观测误差的缘故。 观测误差的产生原因很多，概括起来有以下三方面： 返回目录/一 测量仪器 测量工作通常是利用测量仪器进行的。由于每种仪器只具有一定限度的精密度，因而使观测测值的精密度受到一定的***，例如，在用只刻有厘米分划的普通水准尺进行水准测验量时，就难以保证在估读厘米以下的尾数时完全正确无误；同时，仪器本身也有一定的误差，便如，水准仪的视准轴不平行于水准轴，水准尺的分划误差等等。因此，使用这种水准仪和水准尺进行观测，就会和

3、水准测量的结果产生误差。同样，经纬仪、测距仪、GPS、全站仪等仪器的误差也使测量结果产生误差。 二 观测者 由于观测者的感觉***的鉴别能力有一定的局限性，所以在仪器的安置、照准、读数等方面都会产生误差。同时，观测者的工作态度和技术水平，也是对观测成果质量有直接影响的重要因素。 返回目录/三 外界条件 观测时所处的处界条件，如温度、湿度、风力、大气折光 等因素都会对测量结果直接产生影响；同时，随着温度的高 低，湿度的大小，风力的强弱以及大气折光的不同，它们对 测量结果的影响也随之不同，因而在这样的客观环境下进行 观测，就必然使观测的结果产生误差。 上述测量仪器、观测者、外界条件三方面的因素是引起

4、误差的主要来源。因此，我们把这三方面的因素综合起来称为观测条件。不难想象，观测条件的好、坏与观测成果的质量有着密切的联系。当观测条件好一些，观测中所产生的误差平均说来就可能相应地小一些，因而观测成果的质量就会高一些。反之，观测条件差一些，观测成果的质量就会低一些。如果观测条件相同，观测成果的质量也就可以说是相同的。所以说，观测成果的质量高低也就客观地反映了观测条件的优劣。但是，不管观测条件如何，在整个观测过程中，由于受到上述种种因素的影响，观测的结果就会产生这样或那样的误差。从这一意义上来说，在测量中产生误差是不可避免的。当然在客观条件允许的限度内，测量工作者可以而且 返回目录/必须确保观测成

5、果具有较高的质量。但是，不管观测条件如何，在整个观测过程中，由于受到上述种种因素的影响，观测的结果就会产生这样或那样的误差。从这一意义上来说，在测量中产生误差是不可避免的。当然在客观条件允许的限度内，测量工作者可以而且必须确保观测成果具有较高的质量。 根据观测误差的来源与对观测结果的影响性质、可将观测误差分为系统误差、偶然误差和粗差三种 一 系统误差 在相同的观测条件下一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，那么，这种误差就称为系统误差。 例如，用具有某一尺长误差的钢尺量距时，由尺长误差所引起的距离误差与所测距离的长度成正比地增加，距

6、离愈长，所积累的误差也愈大；经纬仪因校正或整置的不完善而使所测角度产生误差；等等。这些都是由于仪器不完善或工作前未经检验校正而产生的系统误差。又如，用钢尺量距时的温度与检定尺长时的温度不一致，而使所测的距离产生误差； 返回目录/测角时因大气折光的影响而产生的角度误差等等，这些都是由于外界条件所引起的系统误差。此外，如某些观测者在照准目标时，总是习惯于把望远镜十字丝对准目标***的某一侧，也会使观测结果带有系统误差。 二 偶然误差 在相同的观测条件下一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误

7、差称为偶然误差。 例如，在用经纬仪测角时，测角误差是由照准误差、读数误差、外界条件变化所引起的误差、仪器本身不完善而引起的误码差等综合的结果。而其中每项误差又是由许多偶然（随机）因素所引起的小误差的代数和。例如照准误差可能是由于脚架或觇标的晃动或扭转、风力风向的变化、目标的背景、大气折光和大气透明度等等偶然因素影响而产生的小误差的代数和。 返回目录/因此，测角误差实际上是许许多多微小误差项的总和，而每项微小误差又随着偶然因素影响的不断变化，其数值忽大忽小，其符号或正或负，这样，由它们所构成的总和，就某个体而言，无论是数值的大小或符号的正负都是不能事先预知的，因此，把这种性质的误差称为偶然误差。

8、根据概率统计理论知，如果各个误差项对其总和的影响都是均匀地小，即其中没有一项比其它项的影响占绝对优势时，那么它们的总和将是服从或近似地服从正态分布的随机变量。因此，偶然误差就其总体而言，都具有一定统计规律，故有时又把偶然误差称为随机误差。 三 粗差 粗差是一种大量级的观测误差，它是测量上的失误。在测量成果中，是不允许粗差存在的。粗差产生的原因较多，主要是作业员的疏忽大意、失职而引起的，如大数被读错、读数被记录员记错、照准了错误的目标、在航测象片上选错了控制点的影象等。 返回目录/在观测数据中应尽可能设法避免出现粗差。行之有效 的发现粗差的方法有：进行必要的重复现测；通过多余观 测/ 采用必要而

9、又严格的检核、验算等方式均可发现粗差。国家的测绘机构制定的各类测量规范和细则，一般也能起到防止粗差出现和发现粗差的作用。 含有粗差的观测值都不能采用。因此，一但发现粗差，该观测值必须舍弃或重测。尽管我们十分小心谨慎，粗差有时仍然在所难免。因此，如何在大量的观测数据中发现和剔除粗差，或在数据处理中削弱含粗差的观测值对平差计算成果的影响，乃是测绘界十分关注的课题之一。 系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。 当观测值中有显著的系统误差时，偶然误差就居于次要地位，观测误差就呈现出系统的性质。反之，则呈现出偶然的性质。系统误差对于观测结果的影响一般具有累积的作用，它对成果质量的影响也特别显著。

10、 返回目录/在实际工作中，应该采用各种方法来消除系统误差，或者减小其对观测成果的影响，达到实际上可以忽略不计的程度。例如，在进行水准测量时，使前后视距相等，以消除由于视准轴不平行于水准轴对观测高差所引起的系统误差；对量距用的钢尺预先进行检定，求出尺长误差的大小，对所量的距离进行尺长改正，以消除由于尺长误差对量距所引起的系统误差等等，都是消除系统误差的方法。 当观测值中已经排除了系统误差的影响，或者与偶然误差相比已处于次要地位，则该观测值中主要是存在着偶然误差。这样的观测值，就称为带有偶然误差的观测值。这样的观测结果和偶然误差便都是一些随机变量，如何处理这些随机变量，是测量平差这一学科所要研究的

11、内容。 由于观测结果不可避免地存在着偶然误差的影响，因此，在实际工作中，为了提高成果的质量，同时也为了检查和及时发现观测值中有无粗差存在，通常要使观测值的个数多于未知量的个数，也就是要进行多余观测。 返回目录/例如，对一条导线边，丈量一次就可得出其长度，但实际上总要丈量两次或两次以上；一个平面三角形，只需要观测其中的两个内角，即可决定它的形状，但通常是观测三个内角。 由于偶然误差的存在，通过多余观测必然会发现在观测结果之间不相一致，或不符合应有关系而产生的不符值。因此，必须对这些带有偶然误差的观测值进行处理，使得消除不符值后的结果，可以认为是观测量的最可靠的结果。由于这些带有偶然误差的观测值是

12、一些随机变量，因此，可以根据概率统计的方法来求出观测量的最可靠结果，这就是测量平差的一个主要任务。 测量平差的另一项任务，就是评定观测值及其函数的最可靠结果的精度，也就是考核测量结果的质量。人们把这一数据处理的整个过程叫做“测量平差”。概括起来讲，测量平差有两大任务：一是通过数据处理求待定量的最佳估值；二是评估观测成果的质量。 返回目录/第二节 偶然误差的统计性质/任何一个观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大小的数。这一数值就称为该观测量的真值。从概率和数理统计的观点看，当观测量仅含偶然误差时，其数学期望也就是它的真值。 设进行了n次观测，其观测值为L1、L2、Ln/假定观测量的真值为

13、、 、 ，由于各观测值都带有一定的误差，因此，每一观测值Li与其真值或E（Li）之间必存在一差数，设为 （1-1） 式中 称为真误差，有时简称为误差。 返回目录/若记 则有 （1-2） 如果以被观测量的数学期望 表示其真值，则 （1-3） 测量平差中所要处理的观测值是假定不包含系统误差和粗差的，因此这里的仅仅是指偶然误差。人们从无数的测量实践中发现，在相同的观测条件下，大量偶然误差的分布表现出一定的统计规律性，那就是它服从正态分布。下面通过实例来说明这种规律性。 返回目录/在某测区，在相同的条件下，***地观测了358个三角形的全部内角，由于观测值带有误差，故三角观测值之和不等于其真值180，根

14、据（1-1）式，各个三角形内角和的真误差可由下式算出： 式中（L1+ L2+ L3）i表示各三角形内角和的观测值。 现取误差区间的间隔d为0/22，将一组误差按其正负号与误差值的大小排列；统计误差出现在各区间内的个数，以及“误差出现在某个区间内”这一事件的频率（此处n=358），其结果列于表1-1中。 返回目录/表 1-1/返回目录/从表1-1中可以看出，误差的分布情况具有以下性质：（1）误差的绝对值有一定的限值； （2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差； （3）绝对值相等的正负误差的个数相近。 为了便于以后对误差分布互相比较，下面对另一测区的421个三角形内角和的一组真误差，按上述方法作了

15、统计，其结果列于表1-2 表1-2中所列的421个真误差，尽管其观测条件不同于表1-1中的真误差，但从表中可以看出；愈接近于零误差的区间，其频率愈大；随着离开零误差愈来愈远，其频率亦逐渐递减；且出现在正负误差区间内的频率基本上相等。因而，表1-2的误差分布情况与表1-1内误差分布的情况具有相同的性质。 返回目录/表 1-2/返回目录/误差分布的情况，除了采用上述误差分布的形式表达外，还可以利用图形来表达。例如，以横坐标表示误差的大小，纵坐标代表各区间内误差出现的频率除以区间的间隔值，即 （此处间隔值均取d=0/22) 分别根据表1-1和图1-1。可见，此时图中每一误差区间上的长方条面积就代表误

16、差出现在该区间内的频率。例如，图1-1中画出斜线的长方条面积，就是代表误差出现在0/00+0/20区间内的频率0/128。这种图通常称为直方图，它形象地表示了误差的分布情况。 返回目录/由此可知，在相同观测条件下所得到的一组***观测验的误差，只要误差的总个n足够多，那么，误差出现在各区间内的频率就总是稳定在某一常数（理论频率）附近，而且当观测个数愈多时，稳定的程度也就愈大。例如，就表1-1的一组误差而言，在观测条件不变的情况下，如果再继续观测更多的三角形，则可预知，随着观测的个数愈来愈多，误差出现 在各区间内的频率，其变动的幅度也就愈来愈小，当n时，各频率也就趋于一个完全确定的数值，这就是误差

17、出现在各区间的概率。这就是说，在一定的观测条件下，对应着一种确定的误差分布。 在n的情况下，由于误差出现的频率已趋于完全稳定，如果此时把误差区间间隔无限缩小，则可想象到，图 1-1及图1-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图 1-3所示的两条光滑的曲线。这种曲线也就是误差的概率分布曲线，或称为误差分布曲线。由此可见，偶然误差的频率分布，随着n的逐渐增大，都是以正态分布为其极限。通常也称偶然误差的频率分布为其经验分布，而将正态分布称为它们的理论分布。因此，在以后的理论研究中，都是以正态分开布作为描述偶然误差分布的数学模型，这不仅可以带来工作上的便利，而且基本上也是符合实际情况的/ 返回目录

18、/通过以上讲座我们还可以进一步用概率的术语来概括偶然误差的几个特性： 1在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说，超出一定限值的误差，其出现的概率为零； 2绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大； 3绝对值相等的正负误差出现的概率相同； 4根据（1-3）式可知，偶然误差的数学期望为零，即 （1-4） 换句话说，偶然误差的理论平均值为零。 对于一系列的观测而言，不论其观测条件是好是差，也不论是对同一个量还是对不同量进行观测，只要这些观测是在相同的条件下***进行的，则所产生的一组偶然误差必然具有上述的四个特性。 返回目录/图1-1和图1-2中各长方条的纵坐标为，其面积即为误差出

19、现在该区内的频率。如果将这个结果提到理论上来讨论，则以理论分布取代经验分布（1-3），此时，图1-1和图1-2中各长方条的纵坐标就是的密度函数f（），而长方条的面积为f（）d/即代表误差出现在该区间内的概率， 即 P（）=f()d (1-5) 顾及（1-4）式，可写出的概率密度式为 （1-6） 式中 为中误差。当上式中的参数确定后，即可画出它所对应误差分布曲线。由于E（）=0，所以该曲线是以横坐标为0处的纵轴为对称轴。当 不同时，曲线的位置不变，但分布曲线的开头将发生变化。例如，图1-3中就是表示 不相等时的两条曲线。上述讲座可知，偶然误差是服从 N（0， ）分布的随机变量。 返回目录/第三节

20、 衡量精度的指标/测量平差的主要任务之一，就是评定测量成果的精度。如何正确理解“精度”的含义以及怎样衡量精度的高低？这是本节所要讨论的主要内容。 一 方差和中误差 二 其它精度指标 三 权与协因数 四 精度与准确度 返回目录/为了阐述精度的含义，先分析上节中的两个实例。图1-1和图1-2分别是在不同的观测条件下所测得的两组误差的频率分布图（直方图），图中每个长方条的面积就是误差出现时于该区间内的频率。频率的大小见表1-1及表1-2中的数值。 不难理解，如果将表1-1中0/00-0/20和 0/00+0/20这两个区间的频率相加，即得-0/20+0/20区间内的频率为0/254。如果按此法进行累

21、计，则知误差出现于-0/60+0/60区间内的频率为0/665。这就是说，在表1-1的这组误差中，出现于-0/60+0/60区间以内的误差占误差总数的66/5%；而出现在这一区间以外的误差，即绝对值大于0/6误差，其频率为1-0/665=0/335/即占误差总数的33/5%。如果对表1-2的那组误差也如此累计，即知出现在-0/60+0/60区间内的频率为0/492，而出现于这一区间以外的频率为1-0/492=0/508。这就是说，出现于-0/60+0/60这一区间之内和区间之外的误差，各占误差总数的49/2%和50/8%。 上述数字说明了，表1-1中的误差更集中于零附近，因此可以说这一组误差分

22、布得为密集，或者说它的离散度小；相对而言，可以说表1-2中的误差分布得较为离散或者说它的离散度大。 返回目录 返回本节/从直方图来看，误差分布较为密集的图1-1，其图形在纵轴附近的顶峰则较高，且由各长方条所构成的阶梯比较陡峭；而误差分布较为分散的图1-2，在纵轴附近的顶峰则较低，且其阶梯较为平缓。这个性质同样反映在误差分布曲线（图1-3）的形态上，即误差分布曲线（I）较高而陡峭，误差分布曲线（）则较而平缓。在一定的观测条件下进行的一组观测，它对应着一种确定的误差分布。不难理解，如果分布较为密集，即离散度较小时，则表示该组观测质量较好，也就是说，这一级观测精度较高；反之，如果分布较为离散，即离散

23、较大时，则表示该组观测质量较差，也就是说，这一组观测精度较低。 因此，所谓精度，就是指误差分布的密集世界形势离散的程度，也就是指离散度的大小。假如两组观测成果的误差分布相同，便是两组观测成果的精度相同；反之，若误差分布不同，则精度也就不同。 在相同的观测条件下所进行的一组观测，由于它们对应着同一种误差分布，因此，对于这一组中的每一个观测值，都称为是同精度观测值。 返回目录 返回本节/例如，表1-1中所列的358个观测结果是在相同观测条件下测得的，各个结果的真误差彼此并不相等，有的甚至相差很大（例如有的出现于0/00-0/20区间，有的出现于0/40-1/60区间），但是，由于它们所对应的误差分

24、布相同，因此，这些结果彼此是同精度的。 将上节表1-1及表1-2中数值相比较可知，表1-2中的误差分布比表1-1中的误差分布较为离散，因此，表1-2中的421个观测值，其精度均低于表1-1中的观测值。 为了衡量观测值的精度高低，当然可能按上节的方法，把在一组相同条件下得到的误差，用组成误差分布表、绘制直方图或画出误差分布曲线的方法来比较。但在实际工作中，这样做比较麻烦，有是甚至很困难，而且人们还需要对精度有一个数字概念。这种具体的数字应该能够反映误差分布的密集或离散的程度，即应能够反映其离散度的大小，因此称它为衡量精度的指标。 衡量精度的指标有很多种，下面介绍几种常用的精度指标。 返回目录 返

25、回本节/一、方差和中误差 由数理统计学知，随机变量X的方差定义为 （1-7） 式中，f（x）X概率分布密度函数。X的方差也可记为D（X）或 D x。观测值L和观测值的真误差均为随机变量，因此，它们的方差应是： 顾及 则 （1-8） 可见，任一观测值的方差与观测值误差的方差恒等。 误差的概率密度函数为 式中 是误差分布的方差。 返回目录 返回本节/由方差的定义知 （1-9） 式中 就是中误差 （1-10） 不同的 将对应着不同形状的分布曲线， 愈小，曲线愈为陡峭， 愈大，则曲线愈为平缓。正态分布曲线具有两个拐点，它们在横轴上的坐标为为变量X的数学期望。对于偶然误差而言，由于其数学期望E（）=0，

26、所以拐点在横轴上的坐标应为 （1-11） 由此可见， 的大小可以反映精度的高低。故常用中误差作为衡量精度的指标。 如果在相同的条件下得到了一组***的观测误差，可由（1-9）式，并根据定积分的定义可以写出 或 返回目录 返回本节/即 根据（1-12）式的第一式或（1-9）式定义的方差，是真误差平方（ ）的数学期望，也就是 的理论平均值。在分布律为已知的情况下，它是一个确定的常数。或者说， （1-12）式中的方差 和中误差 ，分别是 和 的极限值，它们都是理论上的数值。但是，实际上观测个数n总是有限的，由有限个观测值的真误差只能求得方差和中误差的估值。方差 和中误差 的估值将用符号 表示，即 （1

27、-13） 返回目录 返回本节/当真值或理论值未知时，可用算术平均值作为真值的估值，计算公式为 （1-13）a 在数理统计中，Xi称为子样值称为子样均值。有了子样均值现计算子样方差，并以此作为观测值方差的估值，其计算式为 （1-13）b 上式分母采用0-1而不是n，以此保证子样方差的无偏性。 返回目录 返回本节/二、其它精度指标 1/偶然误差 在一定的观测条件下，一组***的偶然误差绝对值的数学期望称为平均误差。设以表示平均误差，则有 ， 同样，如果在相同条件下得到了一组***的观测误差， 上式也可写为 （1-14） 即平均误差是一组***的偶然误差绝对值的算术平均值之极限值。 因为 返回目录 返回本

28、节/所以 （1-15） （1-16） 上式是平均误差与中误差的理论关系式，由此式可以看到，不同大小的，对应着不同的，也就对应着不同的误差分布曲线。因此，也可以用平均误差作为衡量精度的指标。 由于观测值的个数n总是一个有限值，因此在实用上也只能用的估值来衡量精度，并用 表示的估值，但仍简称为平均误差。则 （1-17） 返回目录 返回本节/2或然误差 随机变量X落入区间（a，b）内的概率为 对于偶然误差来说，误差落入区间（a/b）的概率为 （1-18） 或然误差是这样定义的：误差出现在 （-，+）之间的概率等于1/2， 即 （1-19） 如图1-4所示，图中的误差分布曲线与横轴所包围的面积为1，则

29、在曲线下 （-，+）间的面积为1/2。 返回目录 返回本节/将的概率密度代入（1-19）式，并作变量代换， 令 则得 由概率积分表可查得，当概率为1/2时，积分限为0/6745/ 即得 （1-20） 上式是或然误差与中误差的理论关系。由此式也可以看到不同的也对应着不同的误差分布曲线，因此，或然误差也可以作为衡量精度的指标。 实用上，因为观测值个数n是有限值，因此也只能得到的估值 ，但仍简称为或然误差。它是这样求得的：将在相同观测条件下得到的一组误差，按绝对值的大小排列，当n为奇数时，取位于中间的一个误差值作为 ， 返回目录 返回本节/当n为偶数时，则取中间两个误差值的平均值作为 。在实用上，通

30、常都是先求出中误差的估值，然后按（1-20）式求出或然误差。 3极限误差 中误差不是代表个别误差的大小，而是代表误差分布的离 散度的大小。由中误差的定义式可知，它是代表一组同精度观测误差平方的平均值的平方根极限值，中误差愈小，即表示在该组观测中，绝对值较小的误差愈多。按正态分布表查得，在大量同精度观测的一组误差中，误差落在（-，+）， （-2，+3）和（-3，+3）的概率分别为 （1-21） 这就是说，绝对值大于中误差，其出现的概率为31/7%；而绝对值大于二倍中误差的偶然误差出现的概率为4/5%；特别是绝对值大于三倍中误差的偶然误差出现的概率公有0/3%， 返回目录 返回本节/这已经是概率接

31、近于零的小概率事件，或者说这是实际上的不可能事件。因此，通常取三倍中误差作为偶然误差的极限值限，并称为极限误差。即 限=3 （1-22） 实践中，也有采用2作为极限误差的。实用上则以中误差的估值 代替 ，即以 或 作为极限误差。同时，（1-21）式也反映了中误差与真误差间的概率关系。在测量工作中，如果某误差超过了极限误差，那就可以认为它是错误，相应的观测值应舍去不用。 4相对误差 对于某些观测结果，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的好坏。例如，分别测量了1000m及80m的两段距离观测值的中误差均为2cm，虽然两者的中误差相同，但就单位长度而言，两者精度并不相同。显然前者的相对精度比后者要

32、高。此时，须采用另一种办法来衡量精度，通常采用相对中误差，它是中误差与观测值之比。如上述两段距离，前者的相对误差为 ，而后者则为 。 返回目录 返回本节/相对中误差是个无名数，在测量中一般将分子化为1，即用 表示。对于真误差与极限误差，有时也用相对误差来表示。例如，经纬仪导线测量时，规范中所规定的相对闭合差不能超过 ，它就是相对极限误差；而在实测中所产生的相对闭合差，则是相对真误差。与相对误差相对应，真误差、中误差、极限误差等均称为绝对误差。 三、权与协因数 方差是表征精度的一个绝对的数字指标。为了比较各观测值之间的相对精度，可以用方差间的比例关系来衡量。这种表示各观测值方差之间比例关系的数字

33、特征之权。所以，权是表征精度的相对的数字指标。 在测量实际工作中，平差计算之前精度的绝对指标（方差）往往是不知道的，而精度的相对的数字指标（权）却可以根据事先给定的条件予以确定，然后根据平差的结果估算出表征精度的绝对的数字指标（方差）。因此，权在平差计算中将起着很重要的作用。 返回目录 返回本节/1权的定义 设有观测值 ，它们的方差为 如选定任一常数 ，则定义 （1-23） 并称 为观测值的权。 由权的定义式（1-23）可以写出各观测值的权之间的比例关系为 （1-24） 可见，对于一组观测值，其权之比等于相应方差的倒数之比，这就表明，方差（或中误差）愈小，其权愈大；或者说，精度愈高，其权愈大。

34、因此，权可以作为比较观测值之间的精度高低的一种指标。 就普遍情况而言，（1-23）式中的方差 ，可以是同一个量的观测值的方差，也可以是不同量的观测值的方差。就是说，用权来比较各观测值之间的精度高代，不限于是对同一量的观测值，同样也适用于对不同量的观测值。 返回目录 返回本节/在式（1-23）中， 是可以任意定的常数，例如在如图的水准网中，已知各条路线的距离为 S1=1/5km S2=2/5km S3=2/0km S4=4/0km S5=3/0km 在该水准网中，如果我们并不知道每公里观测中误差的具体数值，而只知道每公里观测高差的精度相同，例如，水准网中的所有水准路线都是按同一等级水准测量规定的

35、技术要求进行观测的，那么，一般就可认为每公里观测高差的精度是相同的，此时若假定每公里观测高差差的中误差为，则根据协方差传播律可知，各线路观测高差的中误差为0 返回目录 返回本节/如令 ，则得 可以看出，在上述事先给定的条件之下（即每公里观测高差的精度相同，各线路的距离不等），由于 ，其中 是一个定值，Si为第i条线路的公里数，当Si愈小，则愈小，而其对应的权则愈大，反之亦然。所以，通过权的大小可以反映各观测高差的精度高低。 若另选 则得 这一组权虽然由于所取的值不同，其大小与前一组不同，但它们同样能反映各观测高差间的精度高低。 由以上例子可知，对于一组已知中误差的观测值而言： （1）选定了一个

36、 值，即有一组对应的权。或者说有一组权，必有一个对应的 值。 返回目录 返回本节/2）一组观测值的权，其大小是随 的不同而异，但不论 选用何值，权之间的比例关系始终不变。如果设观测值 对于选定的 和 的权分别为 和 则有 例如，前述的两组权之比为 （3）为了使权能起到比较精度高低的作用，在同一问题中只能选定一个 值，不能同时选用几个不同的 值，否则就破坏了权之间的比例关系。 （4）只要事先给定了一定的条件，例如，已知每公里观测高差的精度相同和各水准线路的公里数，则不一定要知道每公里观测高差精度的具体数值，就要以确定出权的数值。 由以上讨论可知，方差用来反映观测值的绝对精度，而权仅是用来比较各观

37、测值相互之间精度高低的比例数。因而，权的意义，不在于它们本身数值的大小，而重要的是它们之间所存在的比例关系。 返回目录 返回本节/2单位权中误差 在上述的水准网的前一组权 中，因令 ，实际上就是以h5的精度作为标准，其它观测高差的精度都是和它进行比较。因此，h5的权p5=1而其它的观测高差的权，则是以p5作为单位而确定出来的。同样，在后一组权 中，因令 故 ，其它观测，高差的权，就是以 作为单位而确定出来的。由此可见，凡是中误差等于 的观测值，其权必然等于1；或者说，权为1的观测值的中误差必然等于 。因此，通常称 为单位权中误差，而称 为单位权方差或方差因子，把权等于1的观测值，称为单位权观测

38、值。例如，在例中，前一组权中的p5=1/此时令 所以就是单位权中误差，就是单位权观测值；而后一组权中的此时令 ，所以 就是单位权中误差， 就是单位权观测值。 因为 可以是任意选定的某一常数，故所选定的也可能不等于某一个具体观测值的中误差。 返回目录 返回本节/例如，对于上述水准网，若选定 ，则可求得一组权为 这时，不再是5个观测值中某一个的中误差。因而，也就不出现数值为1的权。所以为了实际的需要或计算上的方便，可以选取某一假定的观测值作为单位权观测值，以这个假定观测值的中误差作为单位权中误差。如这里选 它是代表路线长度为6公里的观测高差的中误差，因此，路线长度为6公里的观测高差就是单位权观测值

39、，它的中误差就是单位权中误差。 在确定一组同类元素的观测值的权时，所选取的单位权中误差的单位，一般是与观测值中误差的单位相同的，由于权是单位权中误差平方与观测值中误差平方之比，所以，权一般是一组无量纲的数值，也就是说，在这种情况下权是没有单位的。但如果需要确定权的观测值（或它们的函数）包含有两种以上的琐类型元素时，情况就不同了。例如，要确定其权的观测值（或它们的函数）包含有角度和长度，它们的中误差的单位分别为“秒”和“毫米”。 返回目录 返回本节/若选取的单位权中误差的单位是秒，即与角度观测值之中误差单位相同，那么，各个角度观测值的权是无量纲（或无单位）的，而长度观测值的权的量纲则为“秒2/m

40、m2”。这种情况在平差计算中是常常会遇到的。 3协因数 由权的定义知道，观测值的权与它的方差成反比。设有观测值Li和Lj，它们的方差分别为 和 ，我们令 （1-25） 或写为 （1-26） 称Qii和Qjj分别为Li和Lj的协因数或权倒数。在式（1-25）和（1-26）中， 仍然是单位权中误差。 返回目录 返回本节/四、精度与准确度 所谓观测值的精度，是指在一定观测条件下，一组观测值密集与离散的程度，方差就是观测值的精度指标之一。由方差定义式（1-7）可知，精度实际上反映了该组观测值与其理论平均值（即数学期望）接近或离散的程度。当观测值的个数n充分大时，也可以说，精度是以观测值自身的平均值为标

41、准的。观测条件好，观测值越密集，则该组观测值的精度愈高。 所谓准确度，是指观测值的数学期望E（L）与其真值接近的程度。由于观测值与其真值之间存在如下的关系 对上式求期望得 返回目录 返回本节/即 （1-27） 可见，只有当观测值中不含系统误差和粗差，即只含偶然误差的情况下， 等于零，故有 （1-28） 反之，当观测组中含有系统误差或粗差或两者均有的情况下，就不等于零，此时，观测值的数学期望将偏离其真值。 返回目录 返回本节/第四节 协方差阵、协因数阵和权阵 第三节中，我们讨论了如何描述单个观测量的精度指标并且着重讨论了观测值的方差。但在测量数据处理实践中，通常碰到的是由n个观测值所组成的n维观

42、测值向量。为描述 n 维观测值向量L的精度，必须引进协方差阵以及协因数阵与权阵的概念。 一、协方差阵 设有观测值X 和Y，则它们的协方差被定义为 ， （1-29） 式中 和 分别为X和Y的真误差，即 返回目录/故(1-29)式可写为 （1-30） 从（1-29）和（1-30）两式可以看出，协方差是用数学期望来定义的。其中 是观测值的真误差， 是观测值 的真误差，而协方差 则是这两种真误差所有可能取值的乘积的理论平均值，即 （1-31） 因实用上n总是有限值，所以也只能求得它的估计记为 （1-32） 当X和Y的协方差 时，表示这两个（或两组）观测值的误差之间互不影响，或者说，它们的误差是不相关的

43、，并称这些观测值为不相关的观测值；如果 则表示它们的误差是相关的，称这些观测值为相关观测值。 返回目录/由于在测量上所涉及的观测值和观测误差都是服从正态分布的随机变量，对于正态随机变量而言，“不相关”与“***”是等价的，所以把不相关观测值也称为***观测值，同样反相关观测值也称为不***观测值。 ***观测值之间的协方差这一性质，可以这样来证明： 由于 与 相互***，所以顾及（1-4）式得 。 在测量工作中，直接观测得到的高差、距离、方向等，都是***观测值，而经过数据处理才得到的观测量，如GPS基线向量的三个分量就是不***观测值，或称为相关观测值，又如各种控制网根据直接观测值求得的各点的坐标也是相关

44、观测值。 假定有n个不同精度的相关观测值 ， 它们的数学期望和方差为 ，它们两个之间的协方差为 ，用矩阵表示为 返回目录/1-33） 式中 为观测值向量，或简称为观测值； 为X的 数学期望；而称Dxx的方差协方差阵，简称为协方差阵。 如果有观测值 ，它们的数学期望分别为 。 若记 返回目录/则Z的方差阵Dzz为 其中DXX和DYY分别为X和Y的协方差阵，而 （1-34） 且有 称DXY为观测值向量X关于Y的互协方差阵。当X和Y的维数n=r=1时（即X、Y都是一个观测值），互协方差阵就是 X关于Y的协方差。 若DXY=0，则称X与Y是相互***的观测向量。 返回目录/关于协方差 的估算总是仍可依照

45、方差的估算方法进行。即当真值已知，用（1-32）式可估算协方差/当真值 未知时，则可采用下式值估算： （1-35） 式中， 、 分别为x、y的子样均值。 二、协因数阵 第三节中我们已经定义了一个观测值的协因数，即观测值的权倒数，其表达式为： 有了协方差的概念后，即可定义两个随机变量之间的互协因数，其表达式为： （1-36） 返回目录/现将n维随机向量 的方差的定义（1-33），同乘以一个纯量因子 ，并顾及以上两式，则得： （1-37） 通常，将由协因数 和互协因数 按照一定顺序排列成的矩阵称为协因数阵，记作 ，即 （1-38） 返回目录/对照（1-36）和（1-25）两式可知，在协因数阵 中，

46、主对角线元素实为随机变量 的协因数，即权倒数， 而非主对角元素 实为随机变量 关于随机变量 的互协因数，且有 。 由（1-36）式知，互协因数 与协方差 一样，也 是两个随机变量相关程度的标志。当 时， 则 互不相关。 由（1-37）式即得任一随机向量的协因数阵与协方差阵之间的关系式为 （1-39） 上式表明：任一随机向量的协方差阵恒等于它的协因数阵与单位权方差因子的乘积。 返回目录/同样，如果有观测值 ， 若当 ， 则Z的协因数阵Qzz为 （1-40） 式中，QXX、QYY分别为X，Y向量的协因数阵，QXY中的元素就是Xi关于Yi的相关协因数，而Q XY称为互协因QXX和QYY互为转量。当Q

47、XY=0，则表示X、Y这两个向量组互不相关。换言之，欲证明两个向量组是互不相关的，只需证明这两量间的互协因数阵为零即可。 返回目录/三、权阵 由（1-25）式知，一个观测值Li的权Pi与其协因数Qii互为倒数，即有 （1-41）a 或写为 （1-41）b 将上述概念推广，即可定义n维观测值向量 的权阵 为 （1-42）a 即，观测值向量X的权阵是其协因数阵 的逆阵。或者说，协因数阵和权阵互为逆矩阵。因此，下式成立 （1-42）b 将上式代入（1-39）式，即得观测值向量X的权阵与其协方差阵之间的关系式为 （1-43） 返回目录/由于DXX是对称矩阵，因此，PXX也是对称矩阵。 若记权阵为： （

48、1-44） 则有 。 设有***观测值 ，其方差为 ，权为Pi，单位权方差为 ，现组成向量和矩阵 返回目录/则由（1-23）式知，L的协因数阵为 （1-45） 则有 （1-46） 可见，PLL是由***观测值Li的权pi构成的对角阵，且PLL与权逆阵（协因数阵）QLL互为逆阵，通常称PLL为L的权阵。类似地，对相关的观测向量X，如令 （1-47） 返回目录/这时，PXX与QXX均不是对角矩阵，它们分别为 （1-48） 由（1-47）知 （1-49） 进一步展开得： （1-50） （1-51） 可见，当观测值向量中的观测值相关时，其权阵0中的主对角线元素Pii不是观测值Li的权Pi。 返回目录/第五

49、节 广义传播律 在实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，即常常遇到的某些量是观测值的函数。这类例子很多，例如，在一个三角形中，观测了三内角L1、L2、L3，其闭合差和将闭合差平均分配之后所行的各角平差值 为 又如，在侧方交会中（如图1-7），已知A、B两点的坐标xA、yA和xB、yB，它们之间的距离为S0和坐标方位角为a0/由交会观测角L1、L2通过以下公式求交会点的坐标： 返回目录/现在提出这样一个问题：观测值的函数的中误差值的中误差之间，存在着怎样的关系？观测值函数的协因数与观测值的协因素之间，存大着怎样的关系？本节将导出这些关系

50、式，我们把这些关系式称为广义传播律。 一、协方差传播律 1观测值线性函数的协方差阵 设有观测值 ，其数学期望 ，协方差阵为 返回目录/即 （1-52） 其中 为Xi 的方差， 为Xi与Xj的协方差，又设有X的线性函数为 （1-53） 式中 （1-53）式的纯量形式为 （1-54） 返回目录/现在来求Z的方差DZZ。对（1-53）取数学期望，得 （1-55） 根据方差的定义可知，Z的方差为 将（1-53）和（1-55）代入上式，得 所以 (1-56) 将上式展开成纯量形式，得 （1-57） 返回目录/当向量中的各分量 两两***时，它们之间的协方差 。 此时上式为 （1-58） 通常将（1-56）

51、、（1-57）和（1-58）诸式称为协方差传播律。其中（1-58）式是（1-57）式的特例。 2多个观测值线性函数的协方差阵 设有观测值 ，它的数学期望 与协方差阵 ， 如（1-52）式，若有x的m个线性函数 （1-59） 返回目录/下面来求函数Z1、Z2、Zm、的方差和它们之间的协方差。 若令 则（1-59）式可写为 （1-60） 也就是要求Z的协方差阵DZZ。 因为Z 的数学期望为 （1-61） 所以，Z的协方差阵为 （1-62） 返回目录/可以看到，上式与（1-56）式在形式上完全相同，且两式的推导过程也相同。所不同的是（1-56）式中的DZZ是一个观测值函数的方差，而（1-62）式的D

52、ZZ是m个观测值函数的协方差阵，因而（1-56）式只是（1-62）式的一种特殊情况。 设另外还有X的r个线性函数 (1-63) 若记 则（1-63）式可写为 （1-64） 返回目录/Y的数学期望为 （1-65） 由（1-62）式可知，Y的协方差阵为 （1-66） 下面再求Y关于Z的互协方差阵 根据互协方差阵的定义可知 （1-67） 将（1-60）、（1-61）及（1-64）、（1-65）诸式代入上式得 所以 （1-68） 就是由X 的协方差阵求它的两组函数Y和Z的互协方差阵的公式 返回目录/习惯上，将描述观测值X的协方差阵DXX与观测值函数 Z的协方差阵DZZ以及两组函数Y和Z的互协方差阵之间

53、关系 的公式（1-56）、（1-62）及（1-68）式都称为协方差 传播律。显然，这些公式都可以转变成实用公式 ， 即分别取代上述公式中的DZZ、DXX和DYZ。 因为 所以 （1-69） 如果Y=Z，则（1-69）式就变为（1-66）式，所以 （1-66）式也可以看作（1-69）式的一种特例。 返回目录/二、协因数传播律 由于任何一向量的协方差阵总是等于单位权方差因子 与该向量的协因数阵的乘积，因此，可以很方便地由协方差传播律的公式得到协因数传播律的公式。 将（1-39）式代入（1-62）式得 （1-70） 将（1-39）式代入（1-66）式，得 （1-71） 将（1-39）式代入（1-69

54、）式，得 （1-72） 协方差传播律和协因数传播律合称为广义传播律。 特殊情况，当 互相***，并且只有一个函数，则（1-70）式为 （1-73） 上式又称为权倒数传播律，显然，权倒数传播律是协因数传播律的一个特例。 返回目录/三、非线性函数广义传播律 设有观测值 的非线性函数 （1-74） 已知X的协方头阵为DXX，需求Z的方差 。 为了计算非线性函数0= f（X）的方差，必须先将非线性函数线性化。具体方法是： 1取X 的近似值X即 2在X处按台劳级数展，并略去二次以上各项，则得 （1-76） 式中， （1-77） 返回目录/若令 (1-78) 3将（1-76）改写为 dZ=FdX (1-79

55、) 4依据广义传播律（1-62）式和（1-70）式， 并顾及（1-78）式， 即得 （1-80） 或 （1-81） 由上式可知，非线性函数的广义传播律在形式上与线性函数的广义传播律是相同的。其区别仅在于为线性函数时，系数矩阵F是已知的；而为非线性函数时，系数矩阵F要通过线性化才能获得。 返回目录/第六节 广义传播律在测量中的应用 一、测量中常用的定权方法 1水准路线的权 经N个测站测定A、B两水准点间的高差，其中第i站的观测高差为hi，则A、B两水准点间的总高差hAB为 (1-98) 设各测站观测高差是精度相同的***观测值，其中误差均为 ，则可由协方差传播律（1-62）式并顾及 ， 求得hAB

56、的方差 为 由此得中误差 （1-99） 返回目录/若水准路线敷设在平坦地区，前后两测站间的距离s 大致相等，设A、B间的距离为S，则测站数N=S/s，代入 上式得 （1-100） 如果S=1km，s以km为单位，则一公里的测站数为 而一公里观测高差的中误差即为 （1-101） 所以，距离为S公里的A、B两点的观测高差的中误差为 （1-102） 返回目录/1-99）和（1-100）两公式是水准测量中计算高差中误差的基本公式。由（1-99）式可知，当各测站高差的观测精度相同时，水准测量高差的中误差与测站数的平方根成正比；由（1-102）式知，当各测站的距离大致相等时，水准测量高差听中误差与距离的平

57、方根成正比。 如果以PAB代表hAB的权，并设单位权中误差为 （1-103） 则根据权的定义式得 （ 1-104） 即水准路线的权与该路线上所设测站数成反比。 如果设单位权中误差为 （1-105） 则得 （1-106） 即平坦地区水准路线的权与该路线的长度成反比。 返回目录/在水准测量中，究竟用水准路线的距离S定权，还是用测站数N定权，这要视具体情况而定，一般说来，起伏不大的地区，每公里的测站数大致相同，则可按水准路线的距离定权；而在起伏较大的地区，每公里的测站数相差较大，则按测站数定权。 2同精度观测值的算术平均值的权 设对某量以同精度***观测了N次，得观测值 它们的中误差均等于 ，则N个观

58、测值的算术平均值x为 （1-107） 由协方差传播律知，平均值x的方差 （1-108） 式中误差为 （1-109） 返回目录/即N个同精度***观测值的算术平均值中误差，等于各观测值的中误差 除以 。 若有 ，它们分别是 次同精度 观测值的平均值，若每次观测的中误差均为 ，则Li的中误差为 （1-110） 令 （1-111） 则由权定义可得 的权 为 （1-112） 即由不同次数的同精度观测值的算得的算术平均值，其权与观测次数成正比。 返回目录/二、利用观测值函数的真误差值求 观测值方差 1用不同精度的真误差计算权中误差的基本公式 设有一组同精度***观测值 ，它们的数学期望为 ，真误差为 /有

59、（1-113） 则如第三节所述，观测值Li的中误差为 （1-114） 此时，的数学期望为，它们的中误差也等于。由于Li和都服从正态分布，所以可以将它们写为 （1-115） 返回目录/当n为有限值时，（1-114）式变成为 （1-116） 上式就是第三节中的（1-12）式，它是根据一组同精度 ***的真误差计算中误差的基本公式。 现在设 ， 是一组不同精度的***观测值，它们所对应的数学期望，中误差和权分别为 对应的真误差 仍按（1-113）式得到。则有 （1-117） 根据权的定义知 （1-118） 返回目录/式中 是单位权中误差。可见，如果单位权中误差为已知，则不难求得各观测值的中误差 。现在提

60、出问题：如何 利用一组不同精度的真误差来求得单位权中误差 ？ 可以看到，为了求得单位权中误差 ，应需要得到一组精度相同且其权为1的***的零点误差。有了这样一组真误差，便可由（1-114）或（1-116）式来求得 。我们不妨假定 是一组同精度，且权为 的***的真误差，并设 与 有关系 （1-119） 根据协方差传播律知 可得 所以， （1-120） 这就是说，由（1-120）式得到的 是一组同精度且权为1的零点误差，由于 是***的真误差，所以， 也是一组***的真误差，即有 （1-121） 返回目录/根据（1-114）式，就可得到 （1-122） 将（1-120）式代入上式，则可写出 （1-123